Question

11．如圖甲所示，水平桌面有一固定的沿x方向的長直金屬導(dǎo)軌OA，和長正弦形狀的金屬導(dǎo)軌PQ，PQ函數(shù)關(guān)系為y=2sin50πx（m），OA與PQ相交點絕緣．P、O很近，都接近坐標(biāo)原點，且分別與水平方向放置的正對平行金屬板C、D連接．CD間距d=10cm，板長L=20cm；距離板右端X=10cm處有一豎直足夠大的熒光屏，其中心O₂正對CD的軸線．導(dǎo)軌所處空間存在豎直向下的勻強磁場B=1.5T，現(xiàn)有一金屬桿MN從O點開始以10m/s的速度沿OA方向勻速運動．靜止發(fā)出的電子經(jīng)加速電壓U1加速后，沿CD中心軸線射入CD，電子通過CD的時間極短．（不計電子所受的重力和電子間的相互作用），從桿經(jīng)過O點開始計時，求：
（1）CD間電壓隨時間的變化關(guān)系．
（2）要使任意時刻進(jìn)入CD的電子都打在熒光屏上，則加速電壓U₁的范圍為何？
（3）若U₁=120V，熒光屏上亮線的長度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)棒做勻速直線運動，求得速度大小，再結(jié)合切割感應(yīng)電動勢公式，求得感應(yīng)電動勢，最后求出電壓；
（2）t=0時刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的電子，先作類平拋運動，后作勻速直線運動，射出電場時沿垂直于板面方向偏移的距離y最大，根據(jù)運動學(xué)基本公式即可幾何關(guān)系求解；
（3）根據(jù)電壓值，求得對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)距離，從而結(jié)合幾何相似比，即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)勻速運動，則x=vt=10t
由切割感應(yīng)電動勢，則E=BLV=ByV=BV•2sin50πx=30sin500πt（V）
那么U_cd=E=30sin500πt（V）
（2）對電子加速：eU₁=$\frac{1}{2}$mv₀²
在偏轉(zhuǎn)電場：L=v₀t
y′=$\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{{e{U_{cd}}{L^2}}}{{2md{V_0}^2}}=\frac{{{U_{cd}}{L^2}}}{4dU1}$
電子能打在熒光屏上，即電子能從CD間射出：$y′≤\fracpyhsuel{2}$
U_cd=30V時，電子都能打在熒光屏，則U₁≥60（V）
（3）U₁=120V時，${y}_{m}^{′}=\frac{{U}_{cd}m{L}^{2}}{4d{U}_{1}}=0.025m$
設(shè)電子打在熒光屏上距離O₂最遠(yuǎn)為Ym
則由$\frac{{y}_{m}^{′}}{{Y}_{m}}=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{2}+X}$
得    Y_m=0.05m=5cm
U_cd=-30V時，電子向下偏5cm，即熒光屏上亮線長10cm
答：（1）CD間電壓隨時間的變化關(guān)系U_cd=30sin500πt（V）．
（2）要使任意時刻進(jìn)入CD的電子都打在熒光屏上，則加速電壓U₁的范圍為U₁≥60（V）；
（3）若U₁=120V，熒光屏上亮線的長度是10cm．

點評 本題考查了帶電粒子在電場中加速和偏轉(zhuǎn)問題，注意帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本規(guī)律解題，難度適中．