Question

【題目】兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖1、圖2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）。在t=0時(shí)刻由負(fù)極板釋放一個(gè)初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力），若電場(chǎng)強(qiáng)度E0、磁感應(yīng)強(qiáng)度B0、粒子的比荷均已知，且，兩板間距。

（1）求粒子在0～t0時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值。

（2）求粒子在板板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑（用h表示）。

（3）若板間電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間的變化仍如圖1所示，磁場(chǎng)的變化改為如圖3所示，試畫出粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（不必寫計(jì)算過(guò)程）。

Answer 1

【答案】（1）粒子在0～t0時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值

（2）粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖：

【解析】

（1）設(shè)粒子在0～t0時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移大小為s1

①

②

又已知

聯(lián)立解得：

（2）解法一

粒子在t0~2t0時(shí)間內(nèi)只受洛倫茲力作用，且速度與磁場(chǎng)方向垂直，所以粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)速度大小為v1，軌道半徑為R1，周期為T，則

聯(lián)立解得：

又

即粒子在t0~2t0時(shí)間內(nèi)恰好完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。

在2t0~3t0時(shí)間內(nèi)，粒子做初速度為v1的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)位移大小為s2

解得：

由于s1+s2＜h，所以粒子在3t0~4t0時(shí)間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度大小為v2，半徑為R2，有：

解得

由于s1+s2+R2＜h，粒子恰好又完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。

在4t0~5t0時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)到正極板（如圖所示）：

因此粒子運(yùn)動(dòng)的最大半徑。

解法二

由題意可知，電磁場(chǎng)的周期為2t0，前半周期 粒子受電場(chǎng)作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為：

方向向上。

后半周期粒子受磁場(chǎng)作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T

粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

至第n個(gè)周期末，粒子位移大小為sn

又已知

由以上各式得：

粒子速度大小為：

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：

解得：

顯然

因此粒子運(yùn)動(dòng)的最大半徑。

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示：