Question

如圖，一質(zhì)量為M=0.4kg的特制玩具小車(chē)停在水平軌道上A處，小車(chē)前部有一光滑短水平板，平板距離水平軌道豎直高度為h=6cm，平板上靜置一質(zhì)量為m=0.2kg的小球，另一半徑為R=47cm的固定半圓軌道CB與水平軌道在同一豎直平面內(nèi)相接于點(diǎn)B，半圓軌道過(guò)B點(diǎn)的切線水平，與小車(chē)前部的光滑平板等高．玩具小車(chē)在距B點(diǎn)水平距離為L(zhǎng)=4.8m處裝著小球以恒定功率P₀=8W啟動(dòng)，假設(shè)他們水平軌道上受到的阻力恒定，當(dāng)它們達(dá)到最大速度時(shí)，小車(chē)恰好與半圓軌道在B點(diǎn)相碰，且碰后立即停止，而小球則進(jìn)入半圓軌道，在B點(diǎn)時(shí)其速度V_B=8m/s，即與小車(chē)最大速度相同，小球上升到C點(diǎn)時(shí)速度水平大小為V_C=4m/s，之后再水平射出又落在水平軌道上的D點(diǎn)．試求：（不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²）
（1）小球最后落到水平軌道上D點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球經(jīng)過(guò)半圓軌道過(guò)程中，克服摩擦阻力做的功；
（3）小車(chē)在水平軌道上加速所用時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）小球從C到D的過(guò)程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球最后落到水平軌道上D點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）對(duì)小球B到C的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出克服摩擦阻力做功的大�。�
（3）當(dāng)小車(chē)所受的阻力和牽引力相等時(shí)，速度最大，對(duì)小車(chē)和小球整體在A到B的過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理，求出加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）小球從C到D機(jī)械能守恒，以水平軌道為零勢(shì)面，有：mg(2R+h)+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 D

代入數(shù)據(jù)得：vD=

2g(2R+h)+ v 2 C

=

20×(2×0.47+0.06)+16

=6m/s．
（2）小球從B到C克服阻力做功為W_阻，由動(dòng)能定理有：-mg2R-W阻=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

得：W阻=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 C

-2mgR
代入數(shù)據(jù)解得W_阻=2.92J．
（3）小車(chē)和小球從A到B，由動(dòng)能定理有：P0t-fL=

1

2

(M+m)

v

2 B

又因?yàn)檫_(dá)到最大速度V_B時(shí)，有：P₀=F_牽v_B=fv_B
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得小車(chē)加速時(shí)間為t=3s  
答：（1）小球最后落到水平軌道上D點(diǎn)時(shí)的速度大小為6m/s．
（2）小球經(jīng)過(guò)半圓軌道過(guò)程中，克服摩擦阻力做的功為2.92J．
（3）小車(chē)在水平軌道上加速所用時(shí)間為3s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇好研究的對(duì)象和研究的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解．