Question

19．如圖所示，兩塊平行金屬極板MN水平放置，板長(zhǎng)L=1m．間距d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，兩金屬板間電壓U_MN=1×10⁴V；在平行金屬板右側(cè)依次存在ABC和FGH兩個(gè)全等的正三角形區(qū)域，正三角形ABC內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，三角形的上頂點(diǎn)A與上金屬板M平齊，BC邊與金屬板平行，AB邊的中點(diǎn)P恰好在下金屬板N的右端點(diǎn)；正三角形FGH內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，已知A、F、G處于同一直線上．B、C、H也處于同一直線上．AF兩點(diǎn)距離為$\frac{2}{3}$m．現(xiàn)從平行金屬極板MN左端沿中心軸線方向入射一個(gè)重力不計(jì)的帶電粒子，粒子質(zhì)量m=3×10^-10 kg，帶電量q=+1×10^-4 C，初速度v₀=1×10⁵m/s．

（1）求帶電粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)的速度v的大小和方向
（2）若帶電粒子進(jìn)入中間三角形區(qū)域后垂直打在AC邊上，求該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁
（3）若要使帶電粒子由FH邊界進(jìn)入FGH區(qū)域并能再次回到FH界面，求B₂應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律即可求解；
（2）求出帶電粒子出電場(chǎng)時(shí)豎直方向的偏轉(zhuǎn)的位移，根據(jù)幾何關(guān)系及向心力公式即可求解磁場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）分析知當(dāng)軌跡與邊界GH相切時(shí)，對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂最大，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡根據(jù)幾何關(guān)系及向心力公式即可求解磁場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，加速度為a，
則：q$\frac{U}nwd3alp=ma$
解得：a=$\frac{qU}{md}=\frac{\sqrt{3}}{3}×1{0}^{10}m/{s}^{2}$，
t=$\frac{L}{{v}_{0}}=1×1{0}^{-5}s$
豎直方向的速度為${v}_{y}=at=\frac{\sqrt{3}}{3}×1{0}^{5}m/s$
射出時(shí)速度為：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1{0}^{5}m/s$
速度v與水平方向夾角為θ，tan$θ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故θ=30°，即垂直于AB方向出射．
（2）帶電粒子出電場(chǎng)時(shí)豎直方向的偏轉(zhuǎn)的位移y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}m=\fracy9lqvva{2}$，即粒子由P₁點(diǎn)垂直AB射入磁場(chǎng)，
由幾何關(guān)系知在磁場(chǎng)ABC區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為${R}_{1}=\fractudmmw9{cos30°}=\frac{2}{3}m$，
由${B}_{1}qv=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$知：${B}_{1}=\frac{mv}{q{R}_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{10}T$
（3）分析知當(dāng)軌跡與邊界GH相切時(shí)，對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂最大，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何關(guān)系得：${R}_{2}+\frac{{R}_{2}}{sin60°}=1$
故半徑${R}_{2}=（2\sqrt{3}-3）m$
又${B}_{2}qv=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
故${B}_{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{5}T$
所以B₂應(yīng)滿足的條件為大于$\frac{2+\sqrt{3}}{5}T$．
答：（1）帶電粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)的速度v的大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}×1{0}^{5}m/s$，垂直于AB方向出射；
（2）若帶電粒子進(jìn)入中間三角形區(qū)域后垂直打在AC邊上，該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為$\frac{3\sqrt{3}}{10}T$；
（3）若要使帶電粒子由FH邊界進(jìn)入FGH區(qū)域并能再次回到FH界面，B₂應(yīng)滿足的條件為大于$\frac{2+\sqrt{3}}{5}T$．

點(diǎn)評(píng) 做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析，難度較大．