Question

如圖所示，矩形剛性導(dǎo)線框處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于線框所在的平面，線框的ef邊與磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線OO′平行. 已知線框的ab邊、cd邊和ef邊的長(zhǎng)度都是l₁，它們的電阻分別為R₁、R₂和R₃；ac、ce、bd和df邊的長(zhǎng)度都是l₂，它們的電阻都可忽略不計(jì). 開(kāi)始時(shí)整個(gè)線框都處在磁場(chǎng)之中并以恒定的速度v向磁場(chǎng)區(qū)域外移動(dòng)，速度方向垂直于OO′. 問(wèn)在整個(gè)線框從磁場(chǎng)內(nèi)移到磁場(chǎng)外的過(guò)程中，作用于線框的ab邊的安培力做了多少功？

Answer 1

解析:

在ef邊移出磁場(chǎng)區(qū)域，但cd邊尚未移出磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中的任何時(shí)刻，線框的abcd部分處在磁場(chǎng)中，回路abcd中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，故可以把整個(gè)線框用圖1的回路等效。其中a′b′ 段的電阻r₁等于ab的電阻R₁和cd的電阻R₂并聯(lián)后的等效電阻，即

            ①

在線框移動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)回路efb′a′的磁通量是隨時(shí)間變化的.設(shè)在t時(shí)刻，　a′b′邊到磁場(chǎng)邊界的距離為x，磁通量，在時(shí)刻，邊a′b′到磁場(chǎng)邊界的距離為，磁通量，磁通的變化量            ②

負(fù)號(hào)表示磁通隨時(shí)間減少.根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路efb′a′中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為      ③

由歐姆定律，可求得通過(guò)a′b′的電流            ④

通過(guò)線框    ab段的電流              ⑤

磁場(chǎng)作用于線框ab邊的安培力            ⑥

安培力對(duì)ab邊作的功            ⑦

在線框的cd邊剛移出磁場(chǎng)區(qū)域到線框的ab邊移出磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中任一時(shí)刻，整個(gè)線框可用圖2的回路來(lái)等效。其中e′f′邊的電阻r₂為cd邊的電阻R₂與ef邊的電阻R₃并聯(lián)的等效電阻，即                     ⑧

而回路abf′e′中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就是線框的ab邊因切割磁力線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，即有                       ⑨

由歐姆定律，通過(guò)線框ab邊的電流      ⑩

磁場(chǎng)作用于線框ab邊的安培力                   （11）

安培力做的功                           （12）

整個(gè)線框移出磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，作用于ab邊的安培力做的總功 （13）

由以上各式可得          （14）