Question

【題目】中國(guó)著名科幻作家劉慈欣在其作品《人間大炮》中展現(xiàn)了前人所提出的“地心隧道”設(shè)想，即開(kāi)通一條穿過(guò)地心的筆直隧道，如圖所示。下面是《人間大炮》中的一段文字：

沈華北的本意是想把話題從政治上引開(kāi)去，他成功了，貝加納來(lái)了興趣：“沈，你的思維方式總是與眾不同……讓我們看看：我跳進(jìn)去（指跳進(jìn)地心隧道）后會(huì)一直加速，雖然我的加速度會(huì)隨墜落深度的增加而減小，但確實(shí)會(huì)一直加速到地心，通過(guò)地心時(shí)我的速度達(dá)到最大值，加速度為零；然后開(kāi)始減速上升，這種減速度的值會(huì)隨著上升而不斷增加，當(dāng)?shù)竭_(dá)地球的另一面阿根廷的地面時(shí)，我的速度正好為零。如果我想回中國(guó)，只需從那面再跳下去就行了，如果我愿意，可以在南北半球之間做永恒的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，嗯，妙極了，可是旅行時(shí)間……”假設(shè)地球質(zhì)量分布均勻地球半徑為R，地表附近重力加速度為g，物體從隧道口由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，請(qǐng)完成以下問(wèn)題

（1）指出物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置。（不需證明）

（2）已知均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物體引力為零，請(qǐng)證明物體在地心隧道中的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（3）做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體回復(fù)力為F=-kx，其周期為，其中m為物體的質(zhì)量，請(qǐng)求出物體從隧道一端靜止釋放后到達(dá)另一端需要多少分鐘。（地球半徑R=6400km，地表重力加速為g=10m/s2，π=3.14，最終結(jié)果請(qǐng)保留一位小數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）地心為物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置（2）地表：以地心為位移起點(diǎn)，設(shè)某時(shí)刻位移為x，如圖所示，此處為萬(wàn)有引力提供回復(fù)力，由于均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物體引力為零，則有： ，整理可得：，為常數(shù)，即該物體運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（3）41.9分鐘

【解析】

（1）地心為物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置

（2）在地球表面萬(wàn)有引力等于重力：

地球的質(zhì)量為：

以地心為位移起點(diǎn)，設(shè)某時(shí)刻位移為x，如圖所示，此處為萬(wàn)有引力提供回復(fù)力，由于均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物體引力為零，則有：

整理可得：，為常數(shù)，即該物體運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

（3）由得，該物體做簡(jiǎn)諸運(yùn)動(dòng)周期為：

物體從隧道口一端靜止釋放后到達(dá)另一端所用的時(shí)間為半個(gè)周期，則：

代入數(shù)據(jù)可得：t=41.9分鐘