Question

7．地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a；假設(shè)月球繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r₁，向心加速度為a₁．已知萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R．下列說(shuō)法中正確的是（　　）

• A． 地球質(zhì)量M=$\frac{a{R}^{2}}{G}$
• B． 地球密度$ρ=\frac{{3{a_1}r_1^2}}{{4πG{R^3}}}$
• C． 地球的第一宇宙速度為$\sqrt{aR}$
• D． 向心加速度之比$\frac{{a}_{1}}{a}$=$\frac{{R}^{2}}{{{r}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力求出地球的質(zhì)量和密度．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合地球的質(zhì)量求出第一宇宙速度．

解答 解：A、月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m{a}_{1}$，解得地球的質(zhì)量M=$\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}$，地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{4πG{R}^{3}}$，故A錯(cuò)誤，B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{R}}$，故C錯(cuò)誤．
D、對(duì)于地球赤道上的物體，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}≠ma$，a$≠\frac{GM}{{R}^{2}}$，而${a}_{1}=\frac{GM}{{{r}_{1}}^{2}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，注意赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)，不是靠萬(wàn)有引力提供向心力．