【題目】如圖,ABD為豎直平面內的軌道,其中AB段是水平粗糙的、 BD段為半徑R=0.4m的半圓光滑軌道,兩段軌道相切于B點。小球甲從C點以速度υ0沿水平軌道向右運動,與靜止在B點的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質量均為m,小球甲與AB段的動摩擦因數(shù)為μ=0.5,C、B距離L=1.6m,g取10m/s2。(水平軌道足夠長,甲、乙兩球可視為質點)

(1)甲乙兩球碰撞后,乙恰能通過軌道的最高點D,求乙在軌道上的首次落點到B點的距離;

(2)在滿足(1)的條件下,求的甲的速度υ0

(3)若甲仍以速度υ0向右運動,增大甲的質量,保持乙的質量不變,求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍。

【答案】(1)0.8 m(2)6m/s(3)0.8 m≤x'<3.2m

【解析】(1)設乙到達最高點的速度為vD,乙離開D點到達水平軌道的時間為t,乙的落點到B點的距離為x,乙恰能通過軌道最高點,則

2R=gt2

x=vDt

聯(lián)立①②③得x=0.8 m

(2)設碰撞后甲、乙的速度分別為v、v,根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律有


聯(lián)立⑤⑥
對乙從B到D由動能定理得:
聯(lián)立①⑦⑧得VB= m/s
甲從C到B由動能定理有:

解得:v0=6m/s

(3)設甲的質量為M,碰撞后甲、乙的速度分別為vM、vm,根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律有:MvB=MvM+mvm
(11)
聯(lián)立得(11) (12)
由M=m和M≥m,可得vB≤vm<2vB (13)
設乙球過D點時的速度為vD',由動能定理得 (14)

聯(lián)立(13)(14)得2 m/s≤vD'<8 m/s (15)
設乙在水平軌道上的落點距B點的距離為x',有x'=vD't (16)
聯(lián)立(15)(16)得0.8 m≤x'<3.2m

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