Question

（12分）游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來（如圖甲）。我們可以把它抽象成圖乙所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計(jì)摩擦和空氣阻力）。若質(zhì)量為m的小球從曲面軌道上的P點(diǎn)由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點(diǎn)A。已知P點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h=3R，求：
（1）小球通過最低點(diǎn)B時(shí)速度有多大？
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運(yùn)動(dòng)中需要考慮摩擦和空氣阻力，當(dāng)小球從P點(diǎn)由靜止開始下滑，且剛好通過最高點(diǎn)A，則小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

（1）
（2）F=7mg
（3）

（1）設(shè)小球通過B點(diǎn)的速度為v₁，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：
                                              （2分）
解得：（用R和h表示均可）             （2分）
（2）設(shè)小球在B點(diǎn)受到軌道的支持力為F，由牛頓第二定律：
                                           （2分）
解得：F="7mg                                              " （1分）
（3）在考慮摩擦和空氣阻力情況下，當(dāng)小球剛好通過A點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得
   故                                      （2分）
設(shè)小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中，克服阻力做功為，由動(dòng)能定理可得
                                             （2分）
所以                                           （1分）