Question

（20分）目前，大功率半導體激光器的主要結構形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條．但這樣的半導體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應用．為了解決這個問題，需要根據(jù)具體應用的要求，對光束進行必需的變換（或稱整形）．如果能把一個半導體激光二極管條發(fā)出的光變換成一束很細的平行光束，對半導體激光的傳輸和應用將是非常有意義的．為此，有人提出了先把多束發(fā)散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明．

如圖，S₁、S₂、S₃ 是等距離（h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發(fā)出半頂角為a =arctan的圓錐形光束．請使用三個完全相同的、焦距為f = 1.50h、半徑為r =0.75 h的圓形薄凸透鏡，經加工、組裝成一個三者在同一平面內的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經透鏡折射后的光線能全部會聚于z軸（以S₂為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離S₂為 L = 12.0 h處的P點．（加工時可對透鏡進行外形的改變，但不能改變透鏡焦距．）

1．求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置；

2．說明對三個透鏡應如何加工和組裝，并求出有關數(shù)據(jù)。

Answer 1

解析：

1．考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像于P點的要求，組合透鏡所在的平面應垂直于z軸，三個光心O₁、O₂、O₃的連線平行于3個光源的連線，O₂位于z軸上，如圖1所示．圖中表示組合透鏡的平面，、、為三個光束中心光線與該平面的交點．  ＝ u就是物距．根據(jù)透鏡成像公式

                   (1)

可解得

                                                                                                    

因為要保證經透鏡折射后的光線都能全部會聚于P點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”號，代入f 和L的值，算得

     ≈1.757h              (2)

此解滿足上面的條件．         

分別作3個點光源與P點的連線．為使3個點光源都能同時成像于P點，3個透鏡的光心O₁、O₂、O₃應分別位于這3條連線上（如圖1）．由幾何關系知，有

              (3)

即光心O₁的位置應在之下與的距離為

                                (4)

同理，O₃的位置應在之上與的距離為0.146h處．由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等于0.854h，才能使S₁、S₂、S₃都能成像于P點．

2．現(xiàn)在討論如何把三個透鏡L₁、L₂、L₃加工組裝成組合透鏡．

因為三個透鏡的半徑r = 0.75h，將它們的光心分別放置到O₁、O₂、O₃處時，由于＝＝0.854h<2r，透鏡必然發(fā)生相互重疊，必須對透鏡進行加工，各切去一部分，然后再將它們粘起來，才能滿足(3)式的要求．由于對稱關系，我們只需討論上半部分的情況．

圖2畫出了L₁、L₂放在平面內時相互交疊的情況（紙面為平面）．圖中C₁、C₂表示L₁、L₂的邊緣，、為光束中心光線與透鏡的交點，W₁、W₂分別為C₁、C₂與O₁O₂的交點．

為圓心的圓1和以（與O₂重合）為圓心的圓2分別是光源S₁和S₂投射到L₁和L₂時產生的光斑的邊緣，其半徑均為

                          (5)

根據(jù)題意，圓1和圓2內的光線必須能全部進入透鏡．首先，圓1的K點（見圖2）是否落在L₁上？由幾何關系可知

 (6)

故從S₁發(fā)出的光束能全部進入L₁．為了保證全部光束能進入透鏡組合，對L₁和L₂進行加工時必須保留圓1和圓2內的透鏡部分．

下面舉出一種對透鏡進行加工、組裝的方法．在O₁和O₂之間作垂直于O₁O₂且分別與圓1和圓2相切的切線和．若沿位于和之間且與它們平行的任意直線對透鏡L₁和L₂進行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然后把它們沿此線粘合就得到符合所需組合透鏡的上半部．同理，對L₂的下半部和L₃進行切割，然后將L₂的下半部和L₃粘合起來，就得到符合需要的整個組合透鏡．這個組合透鏡可以將S₁、S₂、S₃發(fā)出的全部光線都會聚到P點．

現(xiàn)在計算和的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應符合的條件．設透鏡L₁被切去部分沿O₁O₂方向的長度為x₁，透鏡L₂被切去部分沿O₁O₂方向的長度為x₂，如圖2所示，則對任意一條切割線， x₁、x₂之和為

                （7）

由于必須在和之間，從圖2可看出，沿切割時，x₁達最大值(x_1M)，x₂達最小值(x_2m)，

代入r，r 和的值，得

                                               (8)

代入(7)式，得

                                 (9)

由圖2可看出，沿切割時，x₂達最大值(x_2M)，x₁達最小值(x_1m)，

代入r和r 的值，得

                                              (10)

                             （11）

由對稱性，對L₃的加工與對L₁相同，對L₂下半部的加工與對上半部的加工相同．

評分標準：

本題20分．第1問10分，其中（2）式5分，（3）式5分，

第2問10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．

如果學生解答中沒有(7)―(11)式，但說了“將圖2中三個圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據(jù)需要磨去（或切割掉）”給3分，再說明將加工后的透鏡組裝成透鏡組合時必須保證O₁O₂=O₁O₂=0.854h，再給1分，即給(7)―(11)式的全分（4分）．