Question

9．如圖所示，在光滑的水平面上停放著一輛平板車C，在車上的左端放有一木塊B，車左邊緊鄰一個固定在豎直平面內(nèi)、半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧形光滑軌道，已知軌道底端的切線水平，且高度與車表面相平．現(xiàn)有另一木塊A（木塊A、B均可視為質(zhì)點）從圓弧軌道的頂端由靜止釋放，然后滑行到車上與B發(fā)生碰撞．兩木塊碰撞后立即粘在一起在平板車上滑行，并與固定在平板車上的水平輕質(zhì)彈簧作用后被彈回，最后兩木塊剛好回到車的最左端與車保持相對靜止．已知木塊A的質(zhì)量為m，木塊B的質(zhì)量為2m，小車C的質(zhì)量為3m，重力加速度為g，設(shè)木塊A、B碰撞的時間極短可以忽略．求：
（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運動速度的大�。�
（2）木塊A、B在車上滑行的整個過程中，木塊和車組成的系統(tǒng)損失的機械能．
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）從A到B的過程，機械能守恒，在AB碰撞的時候，動量守恒，根據(jù)運動的過程可以求得共同的速度；
（2）根據(jù)碰撞前和碰撞后的能量來計算損失的能量的大��；
（3）當彈簧被壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能最大，根據(jù)動量守恒求得此時的速度，根據(jù)能量的守恒求得最大的彈性勢能．

解答 解：（1）設(shè)木塊A到達圓弧底端時得速度為v₀，對木塊A沿圓弧下滑得過程，根據(jù)機械能守恒定律，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²
在A、B碰撞得過程中，兩木塊組成得系統(tǒng)動量守恒，設(shè)碰撞后的共同速度大小為v₁，選向右的方向為正，則：
mv₀=（m+2m）v₁，
解得：v₁=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，
（2）A、B在車上滑行的過程中，A、B及車組成的系統(tǒng)動量守恒． A、B滑到車的最左端時與車具有共同的速度，設(shè)此時速度大小為v，根據(jù)動量守恒定律，有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v，
A、B在車上滑行的整個過程中系統(tǒng)損失的機械能為：
△E=$\frac{1}{2}$（m+2m）v₁²-$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v²=$\frac{1}{6}$mgR，
（3）設(shè)當彈簧被壓縮至最短時，木塊與車有相同的速度v₂，彈簧具有最大的彈性勢能E，根據(jù)動量守恒定律有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v₂，
所以有：v₂=v．
設(shè)木塊與車面摩檫力為f，在車上滑行距離為L，由能量守恒，對于從 A、B一起運動到將彈簧壓縮至最短的過程有：
$\frac{1}{2}$（m+2m）v₁²=$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v₂²+fL+E，
對于從彈簧被壓縮至最短到木塊滑到車的左端的過程有：
$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v₂²+E=$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v²+fL，
解得：E=$\frac{1}{12}$mgR．
答：（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運動速度的大小為$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$；
（2）木塊A、B在車上滑行的整個過程中，木塊和車組成的系統(tǒng)損失的機械能為$\frac{1}{6}$mgR；
（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能為$\frac{1}{12}$mgR．

點評 從AB碰撞開始后的過程中，系統(tǒng)的動量守恒，在碰撞的時候，有能量的損失，對于不同的過程，根據(jù)動量守恒和能量守恒計算即可．