Question

11．飛船沿半徑為R的圓形軌道3繞地球做勻速圓周運動，周期為T，若飛船要返回地面，可在軌道上某點P處將速率降到適當?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在B點相切．已知地球的質量為M，半徑為R₀，引力為G．求：
（1）飛船在圓形軌道上運動時間經過P點處的加速度大小．
（2）飛船由P點運動到B點所需要的時間．

Answer 1

分析 （1）飛船在P點時由萬有引力產生加速度，根據萬有引力公式求解；
（2）從P到B經過半個周期，根據開普勒行星運動定律求解在橢圓軌道上的周期從而求得時間．

解答 解：（1）根據萬有引力產生加速度，根據牛頓第二定律有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$
可得飛船在P點的加速度為：a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）根據題意得橢圓軌道的半長軸為：r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$．
根據開普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}$，
因為r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，
解得：T′=$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$
則飛船由A點到B點的運動時間為：t=$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$
答：（1）飛船在圓形軌道上運動時間經過P點處的加速度大小為$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）飛船由P點運動到B點所需要的時間為$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$．

點評 由題目的描述，飛船由P點到B點所需的時間應是橢圓軌道的半個周期．關鍵掌握開普勒第三定律，并能靈活運用