Question

16．如圖所示，將半徑為r的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道AB固定在豎直平面內(nèi)，軌道末端與水平地 面相切．質(zhì)量為m的小球從A點靜止釋放，小球通過水平面BC滑上固定曲面CD恰能到達最高點D，D到地面的高度為$\frac{r}{2}$，求：
（1）小球滑到最低點B時的速度大小；
（2）小球剛滑到最低點B，軌道對小球的支持力；  
（3）小球在整個過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從A滑至B的過程中，支持力不做功，只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律或動能定理列式求解；
（2）在圓弧最低點B，小球所受重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（3）對小球從A運動到D的整個過程運用動能定理列式求解．

解答 解：（1）由動能定理得
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
則
$v=\sqrt{2gR}$
即小球滑到最低點B時，小球速度v的大小為$\sqrt{2gR}$．
（2）由牛頓第二定律得
${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
則
F_N=3mg
即小球剛到達最低點B時，軌道對小球支持力F_N的大小為3mg．
（3）對于小球從A運動到D的整個過程，由動能定理，得
mgR-mgh-W_f=0
則
W_f=mg（R-h）
即小球在曲面上克服摩擦力所做的功為mg（R-h）．
答：（1）小球滑到最低點B時的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）小球剛滑到最低點B，軌道對小球的支持力大小為3mg；  
（3）小球在整個過程中克服摩擦力所做的功為mg（R-h）．

點評 本題關(guān)鍵在于靈活地選擇運動過程運用動能定理列式，動能定理不涉及運動過程的加速度和時間，對于曲線運動同樣適用．