Question

（14分）足夠長的輕細繩，長為L，一端懸掛在鐵架臺上，一端連接質量為m的小球，如圖所示，最大偏轉角為θ

（1）（4分） 請證明在θ＜5°時，單擺做簡諧振動；   

（2）（4分）用此單擺可以測量地球的重力加速度g，其測量原理是                。利用單擺的等時擺動，人們制成了擺鐘。若地球上標準鐘秒針轉一周用時60s，將該鐘拿到月球上時，秒針轉一周與地球上           s時間相同（已知g_地=6g_月）。

（3）（6分）若地球的半徑為R，重力加速度為g，宇航員將此單擺拿到另一個星球上，而此星球的密度和地球差不多。

① 宇航員怎么做才能測出該星球的半徑。

② 請推導該星球的半徑的表達式。

Answer 1

解析：

（1）（4分）證明：小球受力如圖，回復力F=mgsinθ

    θ＜5°時，sinθ≈θ==（x為OA段的位移）

    F=，方向F與x相反

      ∴ F=－

（2）（4分） T=2π、  60   

（3）（3分）①宇航員安裝好單擺，測出擺長L和周期T星球上的g值，再應用GM=R²g，密度公式寫出g的表達式，再與地球對比即可。

（3分）② ∵T=2π      ∴ g_星=

   又∵GM=R²g，ρ==

   ∴R_星=

    ∴=

        ∴R_星=