Question

雨點(diǎn)在下落過(guò)程中受到的空氣阻力與雨點(diǎn)的橫截面積S成正比，與雨點(diǎn)下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例系數(shù)）．雨點(diǎn)接近地面時(shí)近似看做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．若把雨點(diǎn)看做球形，其半徑為r，球的體積為

4

3

πr³由，設(shè)雨點(diǎn)的密度為ρ，求：
（1）每個(gè)雨點(diǎn)最終的運(yùn)動(dòng)速度△v=0（用r、g、k表示）；
（2）雨點(diǎn)的速度達(dá)到△v=0時(shí)，雨點(diǎn)的加速度a為多大？

Answer 1

（1）當(dāng)f=mg時(shí)，雨點(diǎn)達(dá)到最終速度v₁，則：
  kSv₁²=ρ?

4

3

πr3g
又S=πr²
解得，v₁=

4ρrg 3k

（2）當(dāng)雨點(diǎn)的速度達(dá)到v時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
  mg-kSv²=ma
又m=ρ?

4

3

πr3
解得，雨點(diǎn)的加速度a=g-

3kv2

4ρr

答：
（1）每個(gè)雨點(diǎn)最終的運(yùn)動(dòng)速度為

4ρrg 3k

；
（2）雨點(diǎn)的速度達(dá)到v時(shí)，雨點(diǎn)的加速度a為g-

3kv2

4ρr

．