Question

如圖，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M＝1kg的小車(chē)靜止在地面上，小車(chē)上表面與m的半圓軌道最低點(diǎn)P的切線(xiàn)相平�，F(xiàn)有一質(zhì)量m＝2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以＝6m/s的初速度滑上小車(chē)左端，二者共速時(shí)小車(chē)還未與墻壁碰撞，當(dāng)小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車(chē)表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，g取10m/s²．
小題1:求小車(chē)的最小長(zhǎng)度。
小題2:討論小車(chē)的長(zhǎng)度L在什么范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道？

Answer 1

小題1:
小題2:或<7m 

（1）設(shè)滑塊與小車(chē)的共同速度為v₁，滑塊與小車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量守恒，有：
 ……………………………………………………………（2分）
代入數(shù)據(jù)解得：  …………………………………………………（2分）
設(shè)小車(chē)的最小長(zhǎng)度為L₁，由系統(tǒng)能量守恒定律，有：
 ……………………………………………（2分）
代入數(shù)據(jù)解得： ………………………………………………………（2分）
（2）設(shè)小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)，滑塊與P點(diǎn)的距離為L₂，若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速度為v，臨界條件為：
 …………………………………………………………………①（2分）
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
 ……………………………………②（1分）
①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：L₂="1m  " ………………………………………………………（1分）
這種情況下小車(chē)的長(zhǎng)度為：m 
若滑塊恰好滑至圓弧到達(dá)Ｔ點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
 …………………………………………（1分）
代入數(shù)據(jù)解得： m       ………………………………………………（1分）
這種情況下小車(chē)的長(zhǎng)度為：m  
若滑塊滑至P點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，由動(dòng)能定理，有：
  ………………………………………………………………（1分）
解得：m       ………………………………………………………………（1分）
這種情況下小車(chē)的長(zhǎng)度為：m 
綜上所述，滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿(mǎn)足：
或<7m              …………………………………（2分）