Question

如圖所示，兩根平行長直金屬導(dǎo)軌傾斜放置，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌的間距為L，兩導(dǎo)軌上端之間接有阻值為R的電阻．質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab垂直跨接在導(dǎo)軌上，接觸良好，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計，且．在導(dǎo)軌平面上的矩形區(qū)（如圖中虛線框所示）域內(nèi)存在著勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．當(dāng)磁場以某一速度沿導(dǎo)軌平面勻速向上運(yùn)動時，導(dǎo)體棒以速度v₀隨之勻速向上運(yùn)動．設(shè)導(dǎo)體棒在運(yùn)動過程中始終處于磁場區(qū)域內(nèi)．求：
（1）通過導(dǎo)體棒ab的電流大小和方向；
（2）磁場運(yùn)動的速度大��；
（3）維持導(dǎo)體棒勻速向上運(yùn)動，外界在時間t內(nèi)需提供的能量是多少？

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒勻速向上運(yùn)動，受力平衡，導(dǎo)體棒所受的安培力沿斜面向上，根據(jù)平衡條件列式求解電流大小，由左手定則判斷電流的方向；
（2）導(dǎo)體棒與磁場的相對速度大小為磁場與導(dǎo)體棒速度之差v-v₀，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=BL（v-v₀），電流I=

E

R

，安培力F=BIL，聯(lián)立可求出磁場的速度v；
（3）為維持導(dǎo)體棒勻速向上運(yùn)動，外界提供的能量一部分轉(zhuǎn)化為電阻R中的焦耳熱，一部分克服摩擦力和重力做功．由焦耳定律求出電阻R中的焦耳熱，根據(jù)能量守恒求解外界在時間t內(nèi)需提供的能量．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒ab做勻速運(yùn)動，受力平衡，設(shè)通過導(dǎo)體棒的電流為I，則
  BIL=μmgcosθ+mgsinθ                                 
解得 I=

mg

BL

(μcosθ+sinθ)
導(dǎo)體棒所受的安培力沿斜面向上，由左手定則判定，電流的方向由b到a     
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒以恒定速度v₀勻速運(yùn)動時，設(shè)磁場運(yùn)動的速度為v
則 導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E=BL（v-v₀）                                                 
通過導(dǎo)體棒的電流I=

E

R

導(dǎo)體棒受到的安培力F=BIL                                         
聯(lián)立解得  v=

mgR(μcosθ+sinθ)

B2L2

+

v

0

（3）為維持導(dǎo)體棒勻速向上運(yùn)動，外界提供的能量一部分轉(zhuǎn)化為電阻R中的焦耳熱，一部分克服摩擦力和重力做功．
在時間t內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q=I²Rt=

m2g2(μcosθ+sinθ)2Rt

B2L2

在時間t內(nèi)導(dǎo)體棒上滑的距離s=v₀t
克服摩擦力和重力做功W_克=mg（μcosθ+sinθ）s
在時間t內(nèi)外界提供的能量   E=Q+W_克                        
解得E=

m2g2(μcosθ+sinθ)2Rt

B2L2

+mg(μcosθ+sinθ)v0t
答：（1）通過導(dǎo)體棒ab的電流大小為

mg

BL

(μcosθ+sinθ)，電流的方向由b到a；
（2）磁場運(yùn)動的速度大小是

mgR(μcosθ+sinθ)

B2L2

+v0；
（3）維持導(dǎo)體棒勻速向上運(yùn)動，外界在時間t內(nèi)需提供的能量是

m2g2(μcosθ+sinθ)2Rt

B2L2

+mg(μcosθ+sinθ)v0t．

點(diǎn)評：本題的解題關(guān)鍵是求感應(yīng)電動勢，要注意導(dǎo)體棒與磁場有相對運(yùn)動，同向運(yùn)動時，導(dǎo)體棒相對于磁場的速度為兩者之差，進(jìn)而求出感應(yīng)電動勢．