Question

2．如圖所示，在第一象限內(nèi)有垂直紙面向里和向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁=0.1T、B₂=0.05T，分界線OM與x軸正方向的夾角為α．在第二、三象限內(nèi)存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=1×10⁴V/m．現(xiàn)有一帶電粒子由x軸上A點(diǎn)靜止釋放，從O點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場區(qū)域．已知A點(diǎn)橫坐標(biāo)x_A=-5×10^-2m，帶電粒子的質(zhì)量m=1.6×10^-24kg，電荷量q=+1.6×10^-15C．
（1）要使帶電粒子能始終在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求α的取值范圍？（用反三角函數(shù)表示）
（2）如果α=30°，則粒子能經(jīng)過OM分界面上的哪些點(diǎn)？
（3）如果α=30°，讓粒子在OA之間的某點(diǎn)釋放，要求粒子仍能經(jīng)過（2）問中的那些點(diǎn)，則粒子釋放的位置應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)問題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況．粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)公式求出粒子進(jìn)入磁場的速度．粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)磁場強(qiáng)度的關(guān)系，求出半徑值比，正確畫出軌跡，由幾何知識(shí)及三角函數(shù)求解．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)在B₁中運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，在B₂中運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂，
由$qvB=m\frac{v^2}{r}$
B₁=2 B₂
得  r₂=2r₁
由幾何關(guān)系解得  $α＜\frac{π}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{2}{3}$
（2）當(dāng)α=30°時(shí)，粒子每次在任意一個(gè)磁場中運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角均為60°，弦長均等于半徑．
粒子在電場中運(yùn)動(dòng)  $qE{x_A}=\frac{1}{2}m{v^2}$
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng) ${r_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}$
解得：
${r_1}=1×{10^{-2}}m$
${r_2}=2{r_1}=2×{10^{-2}}m$
OM上經(jīng)過的點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離是$l=k{r_1}+（k-1）{r_2}=（3k-2）{r_1}=（3k-2）×{10^{-2}}m$（k=1、2、3…）
或 $l=k'（{r_1}+{r_2}）=3k'×{10^{-2}}m$（k′=1、2、3…）
（3）要仍然經(jīng)過原來的點(diǎn)，需滿足 ${r_1}=n（{r_1}^′+{r_2}^′）$（n=1、2、3…）
解得  $r'=\frac{r_1}{3n}$即$v'=\frac{v}{3n}$
粒子釋放的位置應(yīng)滿足 ${x_A}^′=\frac{x_A}{{9{n^2}}}$（n=1、2、3…）
或者 ${r_1}=n'（2{r_1}^{′′}+{r_2}^{′′}）$（n′=1、2、3…）   
解得，$r''=\frac{r_1}{4n'}$即$v''=\frac{v}{4n'}$
粒子釋放的位置應(yīng)滿足${x_A}^{′′}=\frac{x_A}{{16{{n'}^2}}}$（n′=1、2、3…）
答：（1）要使帶電粒子能始終在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求α的取值范圍為$α＜\frac{π}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{2}{3}$；
（2）如果α=30°，則粒子能經(jīng)過OM分界面上的哪些點(diǎn)（3k-2）×10^-2m（k=1、2、3…）或3k′×10^-2（k′=1、2、3…）；
（3）如果α=30°，讓粒子在OA之間的某點(diǎn)釋放，要求粒子仍能經(jīng)過（2）問中的那些點(diǎn)，則粒子釋放的位置應(yīng)滿足${x}_{A}^{′}=\frac{{x}_{A}}{{9n}^{2}}$或${x}_{A}^{″}=\frac{{x}_{A}}{16{{n}^{′}}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，需考生熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的公式及應(yīng)用．首先根據(jù)題意，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到臨界值，求出角度．根據(jù)草圖找出粒子經(jīng)過哪些點(diǎn)，通過分析得出數(shù)學(xué)規(guī)律．