Question

【題目】如圖所示，一氣缸放在大氣中，大氣壓，活塞質(zhì)量，面積，活塞下連一彈簧，原長(zhǎng)為，勁度系數(shù)，活塞與缸壁都不導(dǎo)熱，而活塞與缸壁之間存在摩擦，旦大小恒為．假設(shè)摩擦產(chǎn)生的熱有一半被活塞下的氣體吸收，活塞下有的理想單原子氣體，初態(tài)，溫度℃，固定活塞，在活塞上放上質(zhì)量為的木塊后，釋放活塞（取），木塊脫離活塞后不再回來(lái)，求：

（1）活塞上升達(dá)到的最大高度（相對(duì)于氣缸底部）；

（2）活塞上升達(dá)到最大高度時(shí)氣體的狀態(tài)參量，即壓強(qiáng)、體積、溫度

Answer 1

【答案】（1） (2) 氣體的壓強(qiáng)，體積，溫度℃．

【解析】

（1）設(shè)活塞至缸底的距離為，以、、表示氣體的狀態(tài)參量，則有，

即． ①

依題意，由熱力學(xué)第一定律有． ②

由①②兩式可得． ③

對(duì)上式考慮到初始條件，有，即有．

此式說(shuō)明，氣體在變化過(guò)程中，其壓強(qiáng)保持不變，為等壓道程．

對(duì)活塞與木塊整體進(jìn)行受力分析，其受力如圖所示，有活塞在平衡位置時(shí)有

，

解得． ④

活塞在分離木塊位置時(shí)，活塞的加速度為，此時(shí)應(yīng)有，

解得． ⑤

由于、、、均為恒力，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是在彈力作用的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且

（木塊脫離前），

<>（木塊脫離后）． ⑥

對(duì)氣體的初態(tài)進(jìn)行分析，有，解得．

所以，木塊脫離前活塞振動(dòng)的振幅為．

則活塞用表示的振動(dòng)方程為．

于是，

代入，得，．

此后，振動(dòng)的平衡位置發(fā)生變化，平衡位置滿足

，解得．

且新的振幅滿足．

故振動(dòng)方程為．

代入時(shí)，，得．

又，

當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)，則活塞相對(duì)于氣缸底部上升到達(dá)的總高度為

．

（2）活塞上升達(dá)到最大高度時(shí)，

氣體的壓強(qiáng)，

體積，

溫度℃．

說(shuō)明：對(duì)于本題的解答，如不能作出氣體的變化過(guò)程是等壓變化，那么，我們也許會(huì)經(jīng)歷如下的解答過(guò)程．

設(shè)開(kāi)始時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為，則由克拉珀龍方程，有，解得．

釋放活塞時(shí)，有，即活塞會(huì)向上運(yùn)動(dòng)．

木塊脫離活塞時(shí)，其應(yīng)具有向下的加速度，設(shè)此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為，且，氣體的壓強(qiáng)為，溫度為，所以，對(duì)活塞有．

對(duì)氣體有．

對(duì)系統(tǒng)有

．

此后，活塞繼續(xù)上升，上升到最大高度時(shí)，設(shè)彈簧的長(zhǎng)度為，且，氣體的壓強(qiáng)為，溫度為，所以，對(duì)系統(tǒng)有

．

對(duì)氣體有．

至此，我們應(yīng)該進(jìn)入到解方程的階段，但基本上會(huì)是無(wú)功而返．