Question

12．如圖所示，圖面內(nèi)有豎直線DD′，過DD′且垂直于圖面的平面將空間分成Ⅰ、Ⅱ兩區(qū)域．區(qū)域I有方向豎直向上的勻強(qiáng)電場和方向垂直圖面的勻強(qiáng)磁場B（圖中未畫出）；區(qū)域Ⅱ有固定在水平面上高h(yuǎn)=2l、傾角α=$\frac{π}{4}$的光滑絕緣斜面，斜面頂端與直線DD′距離s=4l，區(qū)域Ⅱ可加豎直方向的大小不同的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出）；C點(diǎn)在DD′上，距地面高H=3l．零時刻，質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球P在K點(diǎn)具有大小v₀=$\sqrt{gl}$、方向與水平面夾角θ=$\frac{π}{3}$的速度，在區(qū)域I內(nèi)做半徑r=$\frac{3l}{π}$的勻速圓周運(yùn)動，經(jīng)C點(diǎn)水平進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ．某時刻，不帶電的絕緣小球A由斜面頂端靜止釋放，在某處與剛運(yùn)動到斜面的小球P相遇．小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力及小球P所帶電量對空間電磁場的影響．l已知，g為重力加速度．
（1）求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）若小球A、P在斜面底端相遇，求釋放小球A的時刻t_A；
（3）若小球A、P在時刻t=β$\sqrt{\frac{l}{g}}$（β為常數(shù)）相遇于斜面某處，求此情況下區(qū)域Ⅱ的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E，并討論場強(qiáng)E的極大值和極小值及相應(yīng)的方向．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，電場力和重力平衡
（2）求出小球A沿斜面勻加速運(yùn)動的時間、小球P勻速圓周運(yùn)動的時間及離開磁場類平拋運(yùn)動的時間，根據(jù)時間關(guān)系求釋放小球A的時刻
（3）小球P進(jìn)入Ⅱ區(qū)做類平拋運(yùn)動，根據(jù)類平拋規(guī)律列式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識求E的最值．

解答 解：（1）小球P在Ⅰ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動，則小球P必定帶正電，且所受電場力與重力大小相等．
設(shè)Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，由洛倫茲力提供向心力得：
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$①
代入數(shù)據(jù)得：
$B=\frac{πm}{3ql}\sqrt{gl}$②
（2）小球P先在Ⅰ區(qū)以D為圓心做勻速圓周運(yùn)動，由小球初速度和水平方向夾角為θ可得，小球?qū)⑵�轉(zhuǎn)θ角后自C點(diǎn)水平進(jìn)入Ⅱ區(qū)做類平拋運(yùn)動到斜面底端B點(diǎn)，如圖所示，運(yùn)動到C點(diǎn)的時刻為${t}_{C}^{\;}$，到達(dá)斜面時刻為${t}_{1}^{\;}$，有

${t}_{C}^{\;}=\frac{θr}{{v}_{0}^{\;}}$③
$s-hcotα={v}_{0}^{\;}（{t}_{1}^{\;}-{t}_{C}^{\;}）$④
小球A釋放后沿斜面運(yùn)動的加速度為${a}_{A}^{\;}$，與小球P在時刻${t}_{1}^{\;}$相遇于斜面底端，有
$mgsinα=m{a}_{A}^{\;}$⑤
$\frac{h}{sinα}=\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-{t}_{A}^{\;}）_{\;}^{2}$⑥
聯(lián)立以上方程可得：${t}_{A}^{\;}=（3-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{l}{g}}$⑦
（3）設(shè)所求電場方向向下，在${t}_{A}^{′}$時刻釋放小球A，小球P在區(qū)域Ⅱ運(yùn)動加速度為${a}_{p}^{\;}$，有

則小球A、P相遇時，由運(yùn)動公式及幾何關(guān)系可得：
$s={v}_{0}^{\;}（t-{t}_{C}^{\;}）+\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-{t}_{A}^{′}）_{\;}^{2}cosα$⑧
$mg+qE=m{a}_{p}^{\;}$⑨
$H-h+\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-{t}_{A}^{′}）_{\;}^{2}sinα=\frac{1}{2}{a}_{p}^{\;}（t-{t}_{C}^{\;}）_{\;}^{2}$⑩
聯(lián)立相關(guān)方程解得$E=\frac{（11-{β}_{\;}^{2}）mg}{q（β-1）_{\;}^{2}}$
對小球P的所有運(yùn)動情形討論可得得3≤β≤5
由此可得場強(qiáng)極小值為E_min=0，場強(qiáng)極大值為E_max=$\frac{7mg}{8q}$，方向豎直向上
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{πm}{3qL}\sqrt{gl}$
（2）小球A釋放時刻為$（3-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{l}{g}}$
（3）電場強(qiáng)度為$\frac{（11-{β}_{\;}^{2}）mg}{q（β-1）_{\;}^{2}}$，極大值$\frac{7mg}{8q}$，豎直向上；極小值為0．

點(diǎn)評 這是一道綜合性非常強(qiáng)的題目，涉及的知識點(diǎn)非常多，關(guān)鍵是分析小球的受力情況運(yùn)動過程，尤其是第三問難度較大，體現(xiàn)了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．