Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上有直角坐標(biāo)系xoy，將半徑為R=0.4m，內(nèi)徑很小、內(nèi)壁光滑、管壁極薄的圓弧形絕緣管AB水平固定在第二象限內(nèi)，它的A端和圓心O′都在y軸上，B端在x軸上，O′B與y軸負方向夾角θ=60°．在坐標(biāo)系的第一、四象限不同區(qū)域內(nèi)存在著四個垂直于水平面的勻強磁場，a、b、c為磁場的理想分界線，它們的直線方程分別為a：y=0.2；b：y=-0.1；c：y=-0.4；在a、b所圍的區(qū)域Ⅰ和b、c所圍的區(qū)域Ⅱ內(nèi)的磁感應(yīng)強度分別為B₁、B₂，第一、四象限其它區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強度均為B₀．當(dāng)一質(zhì)量m=1.2×10^-5kg、電荷量q=1.0×10^-6C，直徑略小于絕緣管內(nèi)徑的帶正電小球，自絕緣管A端以v=2.0×10^-2 m/s的速度垂直y軸射入管中，在以后的運動過程中，小球能垂直通過c、a，并又能以垂直于y軸的速度進入絕緣管而做周期性運動．求：
（1）B₀的大小和方向；
（2）B₁、B₂的大小和方向；．
（3）在運動的一個周期內(nèi)，小球在經(jīng)過第一、四    象限的過程中，在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)運動的時間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ外運動的時間之比．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限內(nèi)做圓周運動，則由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強度，由左手定則可知磁場的方向；
（2）由題意可知，要使粒子能垂直ca且能周期性運動，則區(qū)域IⅠ、Ⅱ內(nèi)小球運動的半徑應(yīng)相等，區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強度應(yīng)等大反向，由幾何關(guān)系可得出粒子的半徑，由牛頓第二定律可求得磁感應(yīng)強度；
（3）粒子在運動中速度大小不變，則由s=vt可求得各段中所需要的時間，即可求出比值．

解答：解：（1）小球在第一象限過a做半徑為R的勻速圓周運動
由牛頓第二定律有：qB0v=m

v2

R

解得：B0=

mv

qR

①
代入數(shù)據(jù)得：B₀=0.6T         
由左手定則知B₀方向垂直水平面向下．
（2）要使小球不停的做周期性運動，則區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)小球運動的半徑應(yīng)相等，區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強度應(yīng)等大反向，B₂的方向為垂直水平面向下，B₁的方向為垂直水平面向上                   
小球做周期性運動的徑跡如圖甲．
設(shè)在區(qū)域Ⅱ、Ⅰ內(nèi)小球的圓心為O₁、O₂，小球圓周運動的半徑為r，偏轉(zhuǎn)角為φ，如圖乙所示．
由幾何知識知：2rsinφ=O^′D②
R+r-DG=2rcosφ-r③
DG=(1+

3

2

)R④
解②③④得r=

3

2

R⑤
φ=

π

3

r=

mv

qB1

⑥
解④⑤得   B1=0.4

3

T≈0.693T
則有：B2=B1=0.4

3

T≈0.693T
（3）由v=

s

t

知：
小球在第4象限過c以前做勻速圓周運動時間為t1=

5πR

6v

⑦
小球在區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運動時間共為t2=

2πr

3v

⑧
小球在第1象限區(qū)域Ⅰ以上做勻速圓周運動時間為  t3=

πR

2v

⑨
設(shè)在運動的一個周期內(nèi)，小球在通過第一、四象限的過程中，在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)運動的時間與在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ外時間之比為k則  k=

t2

t1+t3

⑩
解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得k=

3

4

．

點評：本題為高考壓軸題，難度較大，要求學(xué)生能有較好的想象力，在解答此題時一定要注意通過畫圖去找出題目中所給出的條件所說明的情景，從而根據(jù)所學(xué)的半徑公式及周期公式進行求解．