Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ON為沿x軸水平放置的熒光屏，其上方高為h的區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，以水平面PQ為理想分界面，A是y軸正半軸上的一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為2h．質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子從A點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，離子經(jīng)PQ界面上的C點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°射入磁場(chǎng)，剛好垂直打在熒光屏上的D點(diǎn)．不計(jì)離子的重力，求
（1）AC兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_AC；
（2）區(qū)域 I內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）離子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)P的坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出y方向的分速度與初速度關(guān)系，從而結(jié)合動(dòng)能定理AC兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_AC；
（2）粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．然后結(jié)合幾何關(guān)系求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，相加可得總時(shí)間．

解答 解：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示
（1）x方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，y方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan60°$
粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2{v}_{0}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：$q{U}_{AC}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${U}_{AC}=\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（2）由圖中幾何關(guān)系可得：rcos60°=h
又由洛倫茲力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qh}$
（3）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則$h=\frac{{v}_{0}tan60°}{2}{t}_{1}$；C到D做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子的偏轉(zhuǎn)角是30°=$\frac{π}{6}$，則：${t}_{CD}=\frac{\frac{π}{6}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πh}{6{v}_{0}}$
粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：$t={t}_{AC}+{t}_{CD}=（4\sqrt{3}+π）•\frac{h}{6{v}_{0}}$
答：（1）AC兩點(diǎn)間的電勢(shì)差是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$；（2）區(qū)域 I內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是$\frac{m{v}_{0}}{qh}$；（3）離子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的總時(shí)間$（4\sqrt{3}+π）•\frac{h}{6{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題中，帶電粒子先在電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)中做也是一種運(yùn)動(dòng)．解題的關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系，求出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．