Question

14．一位勤于思考的同學，為探月宇航員設(shè)計了如下實驗，一個勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧上端與質(zhì)量為m₁的物體A相連，下端與質(zhì)量為m₂的物體B相連，開始時 A、B在豎直方向上處于靜止狀態(tài)．現(xiàn)用豎直向上的拉力使 A以大小為a的加速度勻加速運動了時間t，此時B剛好離開地面（已知引力常數(shù)G，月球半徑為R，不計月球自轉(zhuǎn)）．請你求出：
①月球的質(zhì)量；
②月球的第一宇宙速度多大？

Answer 1

分析 （1）以B物體受力為突破口，當A以大小為a的加速度勻加速運動了時間t，此時B剛好離開地面時B物體受彈簧的拉力與重力相等，求出A的位移進而求出彈簧的拉力，然后可求出月球表面的重力加速度，再利用月球表面的物體萬有引力等于重力即可求出月球的質(zhì)量．
（2）環(huán)繞在月球表面附近做勻速圓周運動的宇宙飛船受的萬有引力提供向心力，這樣可求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）A、B處于靜止狀態(tài)時，對A物體有：m₁g=kx₁，x₁為彈簧的壓縮量，
B剛好離開地面時，對B物體有：m₂g=kx₂，x₂為彈簧的伸長量，
對A物體運用運動學公式有：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得月球表面的重力加速度：$g=\frac{ka{t}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
月球表面的物體重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得月球的質(zhì)量$M=\frac{ka{t}^{2}{R}^{2}}{2G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
（2）環(huán)繞在月球表面附近做勻速圓周運動時，對宇宙飛船萬有引力提供向心力$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{R}$
解得月球的第一宇宙速度：v=$t\sqrt{\frac{kaR}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$M=\frac{ka{t}^{2}{R}^{2}}{2G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$t\sqrt{\frac{kaR}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點評 此題的關(guān)鍵是正確的分析A、B物體的受力和運動狀態(tài)，知道B物體剛好離開地面時重力等于拉力，用運動學公式求出重力加速度，突破這一點解題成功了一大半，之后運用重力等于萬有引力，萬有引力提供向心力即可求解月球的質(zhì)量、飛船的速率．