Question

10．如圖所示，水平面AB段粗糙，其余部分光滑，左側(cè)固定一根輕質(zhì)彈簧，右側(cè)與豎直平面內(nèi)的光滑圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)連接，導(dǎo)軌半徑R=0.5m．現(xiàn)用一個(gè)質(zhì)量m=2kg的小球壓縮彈簧，彈簧與小球不拴接．用手擋住小球不動(dòng)，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能E_p=36J．放手后小球向右運(yùn)動(dòng)脫離彈簧后，先經(jīng)過AB段，再沿圓形軌道向上運(yùn)動(dòng)．小球與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=.5，取g=10m/s²．則：
（1）求小球脫離彈簧時(shí)的速度大小；
（2）若小球通過圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小為4m/s，求此時(shí)小球?qū)�軌道壓力�?br />（3）欲使小球能通過最高點(diǎn)C，則AB段長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）在小球脫離彈簧的過程中只有彈簧彈力做功，根據(jù)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系和動(dòng)能定理可以求出小球的脫離彈簧時(shí)的速度；
（2）在B點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力；再根據(jù)牛頓第三定律得到壓力；
（3）欲使小球能通過最高點(diǎn)C，在C點(diǎn)，重力恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解C點(diǎn)的速度；從B到C處的過程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式；再對(duì)從A到B過程根據(jù)動(dòng)能定理列式分析；最后聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）設(shè)小球脫離彈簧時(shí)的速度大小為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
則${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}}=6m/s$
（2）在最低點(diǎn)B，根據(jù)牛頓第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
得：N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=84N
根據(jù)牛頓第三定律得球?qū)�軌道的壓力大小�?4N，方向豎直向下；
（3）小球恰能通過最高點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：
mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$，
則${v}_{c}=\sqrt{gR}$
從B到C處的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=mg（2R）+\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
則${v}_{B}=\sqrt{5gR}=5m/s$                    
欲使小球能通過最高點(diǎn)C，則其在最低點(diǎn)B時(shí)速度大小v_B≥5m/s
從A到B過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
則x＜1.1m
所以AB段長(zhǎng)度應(yīng)大于0，且小于1.1m；
答：（1）小球脫離彈簧時(shí)的速度大小為6m/s；
（2）若小球通過圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小為4m/s，此時(shí)小球?qū)�軌道壓力�?4N，向下；
（3）欲使小球能通過最高點(diǎn)C，則AB段長(zhǎng)度應(yīng)滿足0＜x＜1.1m的條件．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)綜合問題，關(guān)鍵是靈活選擇運(yùn)動(dòng)過程和狀態(tài)，結(jié)合機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理和向心力公式列式求解，不難．