Question

13．如圖所示，兩個(gè)半徑為R的四分之一圓弧構(gòu)成的光滑細(xì)管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平面上，圓心連線O₁O₂水平．輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端與質(zhì)量為m的小球接觸（不拴接，小球的直徑略小于管道內(nèi)徑），開始時(shí)彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有一定的彈性勢(shì)能，重力加速度為g．解除鎖定，小球離開彈簧后進(jìn)入管道．
（1）若小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)所受彈力大小為$\frac{3mg}{2}$，求彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能E_p；
（2）若軌道內(nèi)部粗糙，彈簧鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能E_p不變，小球恰好能夠到達(dá)C點(diǎn)，求小球克服軌道摩擦阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）先由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)能量守恒定律求解彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能E_p；
（2）小球恰好能夠到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為零，由動(dòng)能定理求出小球克服軌道摩擦阻力做的功．

解答 解：（1）在C點(diǎn)，以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，則有
  mg+$\frac{3}{2}mg$=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
對(duì)整個(gè)過程，根據(jù)能量守恒定律得
  E_p=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得 E_p=$\frac{13}{4}$mgR
（2）小球恰好能夠到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為零．
根據(jù)能量守恒得：
   E_p-W-2mgR=0
則得 小球克服軌道摩擦阻力做的功 W=E_p=$\frac{5}{4}$mgR
答：
（1）彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能E_p為$\frac{13}{4}$mgR．
（2）小球克服軌道摩擦阻力做的功為$\frac{5}{4}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，把握最高點(diǎn)的臨界條件：管中小球最高點(diǎn)的臨界速度為零，應(yīng)用能量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．