Question

5．如圖所示，光滑桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，B端固定一根勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l₀的輕彈簧，質(zhì)量為m的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接．OO′為過B點(diǎn)的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ．則：
（1）桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，讓小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放，求小球釋放瞬間的加速度大小a及小球速度最大時(shí)彈簧的壓縮量△l₁；
（2）當(dāng)球隨桿一起繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△l₂，求勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，小球速度最大時(shí)其加速度為零，根據(jù)合力為零和胡克定律求解△l₁；
（2）設(shè)彈簧伸長(zhǎng)△l₂時(shí)，對(duì)小球受力分析，根據(jù)向心力公式列式求解．

解答 解：（1）小球從彈簧的原長(zhǎng)位置靜止釋放時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ=ma 
解得：a=gsinθ
小球速度最大時(shí)其加速度為零，則有：k△l₁=mgsinθ
則△l₁=$\frac{mgsinθ}{k}$
（2）當(dāng)球隨桿一起繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△l₂時(shí)小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
  r=（l₀+△l₂）cosθ
彈簧伸長(zhǎng)△l₂時(shí)，球受力如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律有：
水平方向上有  ${F_N}sinθ+k△{l_2}cosθ=m{ω^2}r$
豎直方向上有  F_Ncosθ=k△l₂sinθ+mg
聯(lián)立解得ω=$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{mrcosθ}}$=$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{m（{l}_{0}+△{l}_{2}）co{s}^{2}θ}}$
答：
（1）小球釋放瞬間的加速度大小a是gsinθ，小球速度最大時(shí)彈簧的壓縮量△l₁是$\frac{mgsinθ}{k}$．
（2）當(dāng)球隨桿一起繞OO′軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為△l₂，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為$\sqrt{\frac{k△{l}_{2}-mgsinθ}{m（{l}_{0}+△{l}_{2}）co{s}^{2}θ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、胡克定律與圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，要明確小球做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，靠合力提供向心力，由靜止釋放時(shí)，加速度為零時(shí)速度最大．