Question

11．某實(shí)驗(yàn)小組為了研究裝甲車的移動(dòng)射擊，使用了如圖所示的模型車，已知其質(zhì)量為M=16kg（不包括炮彈質(zhì)量），炮車上僅有一枚質(zhì)量m=1kg炮彈，炮管水平，炮口距水平路面的高h(yuǎn)=0.8m，每次炮車發(fā)射炮彈時(shí)間極短，發(fā)射時(shí)火藥的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為車和炮彈的動(dòng)能的值E=544J．開(kāi)始模型車靜止在路面上時(shí)，其炮口在水平路面上的投影點(diǎn)為A點(diǎn)，水平路面上A、B兩點(diǎn)間的距離為S=18.25m．（g取10m/s²）

（1）若模型車固定在地面上發(fā)射炮彈，求發(fā)射出的炮彈速度大�。�
（2）若模型車原來(lái)靜止在光滑的水平地面上，當(dāng)它發(fā)射一顆炮彈后，車的反沖速度多大．
（3）若模型車從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a=2m/s²，運(yùn)動(dòng)中車所受阻力為車重的k=0.8倍，某時(shí)刻撤去動(dòng)力并發(fā)射炮彈，要使車停止時(shí)炮口在水平路面上的投影點(diǎn)只能位于A、B兩點(diǎn)之間，求炮彈的落地點(diǎn)到A點(diǎn)距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若模型車固定在地面上發(fā)射炮彈，化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動(dòng)能，由功能關(guān)系即可求出發(fā)射出的炮彈速度大�。�
（2）若模型車原來(lái)靜止在光滑的水平地面上，當(dāng)它發(fā)射一顆炮彈的過(guò)程中，化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮彈的動(dòng)能和小車的動(dòng)能，由功能關(guān)系和動(dòng)量守恒定律即可求出車的反沖速度多大．
（3）若模型車從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻撤去動(dòng)力并發(fā)射炮彈后，要使車停止時(shí)炮口在水平路面上的投影點(diǎn)只能位于A、B兩點(diǎn)之間，則其臨界狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)A點(diǎn)與B點(diǎn)，分別求出兩種情況下小車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，與發(fā)射炮彈時(shí)小車的速度，然后結(jié)合動(dòng)量守恒定律與功能關(guān)系即可求出炮彈的落地點(diǎn)到A點(diǎn)距離的取值范圍．

解答 解：（1）若模型車固定在地面上發(fā)射炮彈，化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動(dòng)能，由功能關(guān)系得：
E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v₀=33.0m/s
（2）若模型車原來(lái)靜止在光滑的水平地面上，當(dāng)它發(fā)射一顆炮彈的過(guò)程中，化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮彈的動(dòng)能和小車的動(dòng)能，由功能關(guān)系
得：E=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
由于發(fā)射的時(shí)間短，水平方向小車與炮彈組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，選擇炮彈的方向?yàn)檎�方向，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₁+Mv₂=0
代入數(shù)據(jù)得：v₂=2m/s
（3）若模型車從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻撤去動(dòng)力并發(fā)射炮彈后，要使車停止時(shí)炮口在水平路面上的投影點(diǎn)只能位于A、B兩點(diǎn)之間，則其臨界狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)A點(diǎn)與B點(diǎn)；車在發(fā)射完炮彈后受到地面的阻力，由于運(yùn)動(dòng)中車所受阻力為車重的0.8倍，所以：Ma′=kMg，所以：a′=kg=0.8×10=8m/s²
①當(dāng)小車恰好返回A點(diǎn)時(shí)，設(shè)車的最大速度為v，此時(shí)的位移為x，則：2ax=v²-0．
設(shè)發(fā)射完炮彈后車的速度為v₃，炮彈的速度為v₄，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
（M+m）v=Mv₃+mv₄
由功能關(guān)系得：
$\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+E$
對(duì)應(yīng)小車返回的過(guò)程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：$2a′（-x）=0-（-{v}_{3}）^{2}$
聯(lián)立以上各式，代入數(shù)據(jù)得：$v=\frac{2}{3}$m/s，v₄=32.7m/s，x=0.11m
炮彈做平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}=0.4$s
炮彈平拋的位移：x′=v₄t=32.7×0.4=13.08m
則炮彈到A點(diǎn)的距離：x_總=x+x′=0.11+13.08=13.19m
②當(dāng)小車恰好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，設(shè)車的最大速度為v′，此時(shí)的位移為x₁，則：$2a{x}_{1}={v′}^{2}-0$．
設(shè)發(fā)射完炮彈后車的速度為v₅，炮彈的速度為v₆，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
（M+m）v′=Mv₅+mv₆
由功能關(guān)系得：
$\frac{1}{2}M{v}_{5}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{6}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v′}^{2}+E$
發(fā)射完炮彈后小車?yán)^續(xù)前進(jìn)x₂，則：x₁+x₂=S=18.25m
對(duì)應(yīng)小車?yán)^續(xù)前進(jìn)的過(guò)程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得$2a′{x}_{2}=0-{v}_{5}^{2}$
聯(lián)立以上5個(gè)公式，代入數(shù)據(jù)得：v′=8m/s，v₅=6m/s，v₆=40m/s，x₁=16m
炮彈平拋的位移：x″=v₆t=40×0.4=16m
則炮彈到A點(diǎn)的距離：x_總′=x₁+x″=16+16=32m
結(jié)合①②可得，炮彈的落地點(diǎn)到A點(diǎn)距離的取值范圍是13.19m≤x_總≤32m
答：（1）若模型車固定在地面上發(fā)射炮彈，發(fā)射出的炮彈速度大小是33.0m/s．
（2）若模型車原來(lái)靜止在光滑的水平地面上，當(dāng)它發(fā)射一顆炮彈后，車的反沖速度是2m/s．
（3）若模型車從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，要使車停止時(shí)炮口在水平路面上的投影點(diǎn)只能位于A、B兩點(diǎn)之間，求炮彈的落地點(diǎn)到A點(diǎn)距離的取值范圍是13.19m≤x_總≤32m．

點(diǎn)評(píng) 該題基于車、炮模型設(shè)置了幾種不同的情景考查動(dòng)量守恒定律，其中前兩種情況為常見(jiàn)的題型，該題的難度在第三問(wèn)，要注意題目設(shè)置的臨界條件，尤其是在發(fā)射完炮彈后小車進(jìn)行向前運(yùn)動(dòng)的情景，不僅僅涉及的過(guò)程多，而且運(yùn)算量也特別大，這進(jìn)一步增大了試題的難度，要求在解答的過(guò)程中，一定要沉住氣，仔仔細(xì)細(xì)地解答．