Question

9．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，x軸水平，y軸豎直，第一象限內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；第二象限內(nèi)有一對(duì)平行于x軸放置的金屬板，板間有正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，場(chǎng)強(qiáng)大小未知，磁場(chǎng)垂直坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B；第四象限內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向與x軸正方向成45°角斜向右上方，場(chǎng)強(qiáng)大小與平行金屬板間的場(chǎng)強(qiáng)大小相同．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q的粒子以某一初速度進(jìn)入平行金屬板，并始終沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，粒子進(jìn)入第一象限后，從x軸上的D點(diǎn)與x軸正方向成45°角進(jìn)入第四象限，M點(diǎn)為粒子第二次通過x軸的位置．已知OD距離為L，不計(jì)粒子重力．求：
（1）粒子運(yùn)動(dòng)的初速度大小和勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大�。�
（2）DM間的距離．（結(jié)果用m、q、v₀、L和B表示）

Answer 1

分析 （1）、帶點(diǎn)粒子在第二象限的金屬板之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，說明帶電粒子在豎直方向上受力平衡，即受到的電場(chǎng)力和洛倫茲力大小相等，方向相反；帶電粒子進(jìn)入第一象限后，在洛倫茲力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系確定圓心，并求出軌跡的半徑，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是洛倫茲力．綜上所述，列式即可求出帶電粒子的初速度和電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）、經(jīng)對(duì)帶電粒子的受力情況和初速度的分析可知，帶電粒子在第四象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，把位移沿垂直于電場(chǎng)的方向和沿電場(chǎng)的方向進(jìn)行分解，在這兩個(gè)方向上由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式，結(jié)合幾何關(guān)系，便可求出DM的距離．

解答 解：
（1）、粒子在板間受電場(chǎng)力和洛倫茲力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子初速度為v₀，由平衡條件有：
qv₀B=qE…①
粒子在第一象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O₁，半徑為R，軌跡如圖，
由幾何關(guān)系知$R=\frac{L}{cos45°}=\sqrt{2}L$…②
由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式有：$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$…③
由②③式解得：${v}_{0}=\frac{\sqrt{2}BqL}{m}$…④
由①④式解得：$E=\frac{\sqrt{2}{B}^{2}qL}{m}$…⑤
（2）、由題意可知，粒子從D進(jìn)入第四象限后做類平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖，設(shè)粒子從D到M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，將運(yùn)動(dòng)分解在沿場(chǎng)強(qiáng)方向和垂直于場(chǎng)強(qiáng)的方向上，
則粒子沿DG方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移為：
$\overline{DG}={v}_{0}t$…⑥
粒子沿DF方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移為：
$\overline{DF}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{Eq{t}^{2}}{2m}$…⑦
由幾何關(guān)系可知：$\overline{DG}=\overline{DF}$，$\overline{DM}=\sqrt{2}\overline{DG}$…⑧
由⑤⑥⑦⑧式可解得$\overline{DM}=\frac{2{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}L}$．
答：（1）粒子運(yùn)動(dòng)的初速度大小為$\frac{\sqrt{2}BqL}{m}$，勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}qL}{m}$；
（2）DM間的距離為$\frac{2{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}L}$．

點(diǎn)評(píng) 1、此類型的題首先要對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段，然后對(duì)物體在各段中進(jìn)行正確的受力分析和運(yùn)動(dòng)的分析，進(jìn)行列式求解．
2、洛倫茲力對(duì)電荷不做功，只是改變運(yùn)動(dòng)電荷的運(yùn)動(dòng)方向，不改變運(yùn)動(dòng)電荷的速度大�。�
3、帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：
①、圓心的確定：因?yàn)槁鍌惼澚μ峁┫蛐牧�，所以洛倫茲力總是垂直于速度的方向，畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長線的交點(diǎn)即為圓心．
②、半徑的確定：半徑一般都是在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何的知識(shí)求解，常常用到解三角形，尤其是直角三角形．
③、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：利用圓心角與弦切角的關(guān)系或者四邊形的內(nèi)角和等于360°計(jì)算出粒子所經(jīng)過的圓心角θ的大小，用公式t=$\frac{θ}{360°}$可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．