Question

如圖所示，BCPC′D是螺旋軌道，半徑為R的圓O與半徑為2R的BCD圓弧相切于最低點(diǎn)C，與水平面夾角都是37°的傾斜軌道AB、ED分別與BC、C′D圓弧相切于B、D點(diǎn)（C、C′均為豎直圓的最底點(diǎn)），將一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧的一端固定在AB軌道的有孔固定板上，平行于斜面的細(xì)線穿過(guò)有孔固定板和彈簧跨過(guò)定滑輪將小球和大球連接，小球與彈簧接觸但不相連，小球質(zhì)量為m，大球質(zhì)量為

6

5

m，ED軌道上固定一同樣輕質(zhì)彈簧，彈簧下端與D點(diǎn)距離為L(zhǎng)₂，初始兩球靜止，小球與B點(diǎn)的距離是L₁，L₁＞L₂，現(xiàn)小球與細(xì)線突然斷開(kāi)．一切摩擦不計(jì)，重力加速度為g．
（1）細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度大�。�
（2）小球恰好能完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)這種情況下，小球過(guò)C點(diǎn)前后瞬間有壓力突變，求壓力改變量為多少？
（3）小球沖上左側(cè)軌道獲得與初始線斷相同的加速度時(shí)，小球的速度．

Answer 1

分析：（1）細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度大小根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）小球在經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個(gè)圓周上過(guò)最低點(diǎn)，根據(jù)重力和軌道的支持力的合力提供向心力，列式得到壓力改變量與速度的關(guān)系式；小球恰好能完成豎直圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得最高點(diǎn)小球的速度．小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，列出方程，聯(lián)立即可求解．
（3）當(dāng)小球能過(guò)頂，小球滑上左側(cè)斜面軌道，壓縮彈簧獲得與初始線斷時(shí)相同大小的加速度時(shí)，彈簧彈力為F_N=

6

5

mg-mgsin37°，彈簧壓縮量與右側(cè)初始彈簧壓縮量相同，則彈簧的彈性勢(shì)能相等，整個(gè)過(guò)程機(jī)械能守恒，列式即可求解小球的速度．

解答：解：（1）線未斷時(shí)，彈簧對(duì)小球m的彈力大小 F_N=

6

5

mg-mgsin37°
細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度 a=

FN+mgsin37°

m

=

6 5 mg

m

=

6

5

g
（2）小球在經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，在C點(diǎn)左右兩邊相當(dāng)于分別在兩個(gè)圓周上過(guò)最低點(diǎn)，
在右邊：軌道對(duì)小球的支持力 F_N1=F_n1+mg
得：F_N1=m

v2

R1

+mg
在左邊：軌道對(duì)小球的支持力 F_N2=F_n2+mg
得：F_N2=m

v2

R2

+mg
則小球?qū)�軌道的壓力之差為：△F=F₂-F₁=m

v2

R2

-m

v2

R1

又 R₁=2R，R₂=R，
解得：△F=

mv2

2R

又小球從C點(diǎn)到P點(diǎn)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，則得：

1

2

mv2-2mgR=

1

2

m

v

2 0

在最高點(diǎn)P時(shí)，由重力提供向心力，則有：mg=m

v 2 0

R

聯(lián)立解得：△F=

5

2

mg
（3）當(dāng)小球能過(guò)頂，則小球滑上左側(cè)斜面軌道，壓縮彈簧獲得與初始線斷時(shí)相同大小的加速度時(shí)，彈簧彈力為F_N=

6

5

mg-mgsin37°=

3

5

mg
即彈簧壓縮量與右側(cè)初始彈簧壓縮量相同，均為x=

3mg

5k

，則彈簧的彈性勢(shì)能相等，整個(gè)過(guò)程機(jī)械能守恒：
  mgL₁sin37°-mg（L₂+

3mg

5k

）sin37°=

1

2

m

v

2 2

解得：v₂=

6 5 g(L1-L2- 3mg 5k )

答：（1）細(xì)線剛斷時(shí)，小球的加速度大小為

6

5

g；（2）壓力改變量為

5

2

mg．（3）小球沖上左側(cè)軌道獲得與初始線斷相同的加速度時(shí)，小球的速度為

6 5 g(L1-L2- 3mg 5k )

．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來(lái)源是關(guān)鍵，對(duì)于小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程之中，要抓住機(jī)械能守恒，要具有解決綜合問(wèn)題的能力，需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)．