Question

如圖所示，兩根相同的平行金屬直軌道豎直放置，上端用導(dǎo)線接一定值電阻，下端固定在水平絕緣底座上。底座中央固定一根彈簧，金屬直桿ab通過金屬滑環(huán)套在軌道上。在MNPQ之間分布著垂直軌道面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)用力壓桿使彈簧處于壓縮狀態(tài)，撤力后桿被彈起，脫離彈簧后進(jìn)入磁場(chǎng)，穿過PQ后繼續(xù)上升，然后再返回磁場(chǎng)，并能從邊界MN穿出，此后不再進(jìn)入磁場(chǎng)。桿ab與軌道的摩擦力大小恒等于桿重力的倍。已知桿向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛穿過PQ時(shí)的速度是剛穿過MN時(shí)速度的一半，桿從PQ上升的最大高度（未超過軌道上端）是磁場(chǎng)高度的n倍；桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，一進(jìn)入磁場(chǎng)立即做勻速直線運(yùn)動(dòng)。除定值電阻外不計(jì)其它一切電阻，已知重力加速度為g。求：

（1）桿向上穿過PQ時(shí)的速度與返回PQ時(shí)的速度大小之比v₁：v₂；
（2）桿向上運(yùn)動(dòng)剛進(jìn)入MN時(shí)的加速度大小a；
（3）桿向上、向下兩次穿越磁場(chǎng)的過程中產(chǎn)生的電熱之比Q₁：Q₂。

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）設(shè)桿從PQ上升的最大高度為h，上升過程中的加速度大小為，
則，；     （1分）
下降過程中的加速度大小，
則，；     （1分）
。       （2分）
（2）設(shè)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l，定值電阻阻值為R。
桿剛進(jìn)入MN時(shí)的速度為v₀，切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，回路中的電流，
ab桿受到的安培力大小為，方向豎直向下。①        （1分）
桿剛進(jìn)入MN時(shí)，由牛頓第二定律，
得。②            （1分）
由題意，桿下落進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v₂，
切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，
此時(shí)回路中的電流，
ab桿受到的安培力大小為，③     （1分）
這一過程中桿受力平衡，即，可得。  （1分）
由（1）問，且，可得。④
由①③④，可得，          （2分）
代入②中，可得。           （2分）
（3）設(shè)磁場(chǎng)高度為d，向上穿過磁場(chǎng)的過程中，由動(dòng)能定理
⑤（1分）
桿過PQ后繼續(xù)上升了nd，這一過程由動(dòng)能定理
⑥              （1分）
由⑤⑥得，。         （1分）
桿下落過程中，。     （1分）
則。         （2分）