Question

4．如圖所示，豎直放置的半圓形光滑絕緣軌道半徑為R=0.2m，圓心為O，下端與絕緣水平軌道在B點(diǎn)相切并平滑連接，一帶正電q=5.0×10^-3C、質(zhì)量為m=3.0kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），置于水平軌道上的A點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)間的距離為L=1.0m，物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．
（1）若物塊在A點(diǎn)以初速度v₀向左運(yùn)動，恰好能到達(dá)圓周的最高點(diǎn)D，則物塊的初速度v₀應(yīng)為多大？
（2）若整個裝置處于方向水平向左、場強(qiáng)大小為E=2.0×10³N/C的勻強(qiáng)電場中（圖中未畫出），現(xiàn)將物塊從A點(diǎn)由靜止釋放，試確定物塊在以后運(yùn)動過程中速度最大時的位置（結(jié)果可用三角函數(shù)表示）；
（3）在（2）問的情景中，試求物塊在水平面上運(yùn)動的總路程．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能到達(dá)圓周的最高點(diǎn)D，在D點(diǎn)重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解D點(diǎn)的速度；再對從A到D過程根據(jù)動能定理列式求解初速度．
（2）假設(shè)物塊能到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)動能定理求出物塊到達(dá)C點(diǎn)時的速度，再分析速度最大的位置．
（3）分析電場力和摩擦力的關(guān)系，從而確定小滑塊的整個運(yùn)動過程，對全過程，運(yùn)用動能定理求總路程．

解答 解：（2）物塊恰好能到達(dá)圓周的最高點(diǎn)D，故有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
對A到D過程，根據(jù)動能定理，有：-mg（2R）-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{14}$m/s
（2）對物塊，假設(shè)物塊能滑到C點(diǎn)，從A至C過程，由動能定理得：
qE（L+R）-mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
可得 v_C=0，故物塊始終沒有脫離軌道
對物塊受力分析，可知 tanθ=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{1}{3}$
故物塊在以后運(yùn)動過程中速度最大時位于B點(diǎn)左側(cè)圓弧上，其與圓心的連線與OB的夾角為θ，且θ=arctan$\frac{1}{3}$
（3）由于電場力F_電＞摩擦力F_f，小物塊將在圓弧形的光滑軌道和水平軌道上多次往返后，最終在圓弧軌道上的B點(diǎn)和某高度間往復(fù)運(yùn)動，經(jīng)過B點(diǎn)時速度為零，對物塊，由釋放至B點(diǎn)的過程中，由動能定理得：
qEL-μmgs=0-0
解得總路程為：s=$\frac{5}{3}$m≈1.67m
答：（1）物塊的初速度v₀應(yīng)為$\sqrt{14}$m/s．
（2）物塊在以后運(yùn)動過程中速度最大時的位置在圓弧上與圓心的連線與OB的夾角為θ=arctan$\frac{1}{3}$．
（3）物塊在水平面上運(yùn)動的總路程是1.67m．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要知道物體恰好到最高點(diǎn)的臨界條件是最高點(diǎn)重力提供向心力，分段運(yùn)用動能定理解答．