Question

20．“伽利略”號(hào)木星探測(cè)器從1989年10月進(jìn)入太空起，經(jīng)歷6年，行程37億千米，終于到達(dá)木星周圍．此后要在時(shí)間t內(nèi)繞木星運(yùn)行n圈，對(duì)木星及其衛(wèi)星進(jìn)行考察，最后進(jìn)入木星大氣層燒毀．設(shè)這n圈都是繞木星在同一個(gè)圓周上運(yùn)行．已知木星表面的重力加速度為g，木星的半徑為R，試求探測(cè)器繞木星運(yùn)行的軌道半徑和速率．

Answer 1

分析 探測(cè)器繞著木星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，已知周期，根據(jù)牛頓第二定律列出等式，在木星表面有萬有引力等于重力列出等式求解．

解答 解：在時(shí)間t內(nèi)繞木星運(yùn)行n圈，故周期為：T=$\frac{t}{n}$
在木星表面有萬有引力等于重力：mg=m$\frac{GM}{{R}^{2}}$
探測(cè)器繞著木星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得 r=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$=$\frac{1}{2πn}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$
v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{1}{t}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$，
答：探測(cè)器繞木星運(yùn)行的軌道半徑是$\frac{1}{2πn}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$，速率是$\frac{1}{t}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．