Question

4．如圖，光滑絕緣半球槽的半徑為R，處在水平向右的勻強電場中，一質量為m的帶電小球從槽的右端A處無初速沿軌道滑下，滑到最低點B時，球對軌道的壓力為1.5mg．求
（1）小球受到的電場力的大小和方向．
（2）帶電小球在滑動過程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）設小球運動到最底位置B時速度為v，小球從A處沿槽滑到最底位置B的過程中，根據動能定理結合向心力公式聯(lián)立方程即可求解；
（2）小球在滑動過程中最大速度的條件：是小球沿軌道運動過程某位置時切向合力為零，設此時小球和圓心間的連線與豎直方向的夾角為θ，根據幾何關系及動能定理即可求解

解答 解：（1）設小球運動到最底位置B時速度為v，此時$N-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$…①
解得：v=$\sqrt{0.5gR}$
若不受電場力，則
$mgR=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：$v′=\sqrt{2gR}$
因為v′＞v
所以此過程中電場力做負功，電場力方向水平向右
設電場力大小為F，由題意，小球從A處沿槽滑到最底位置B的過程中，根據動能定理得：
$mgR-FR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…②
由①、②兩式得：$F=\frac{3}{4}mg$…③，方向水平向右
（2）小球在滑動過程中最大速度的條件：是小球沿軌道運動過程某位置時切向合力為零，設此時小球和圓心間的連線與豎直方向的夾角為θ，如圖
mgsinθ=Fcosθ…④
由④得：tanθ=$\frac{4}{3}$小球由A處到最大速度位置得過程中mgRcosθ-FR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}$m ${v}_{m}^{2}$-0，
得：v_m=$\sqrt{\frac{9gR}{10}}$
答：（1）小球受到電場力的大小為 $\frac{3}{4}$mg，方向水平向右；
（2）帶電小球在滑動過程中的最大速度$\sqrt{\frac{9gR}{10}}$．

點評 本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應用，要注意電場力方向的判斷，難度適中