(2013?佛山一模)如圖所示,傾斜軌道AB的傾角為37°,CD、EF軌道水平,AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接,CD右端與豎直光滑圓周軌道相連.小球可以從D進(jìn)入該軌道,沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動,從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道.a(chǎn)、b為兩完全相同的小球,a球由靜止從A點(diǎn)釋放,在C處與b球發(fā)生彈性碰撞.已知AB長為5R,CD長為R,重力加速度為g,小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動摩擦因數(shù)均為0.5,sin37°=0.6,cos37°=0.8,圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R.求:
(1)a球滑到斜面底端C時(shí)速度為多大?a、b球在C處碰后速度各為多少?
(2)要使小球在運(yùn)動過程中不脫離軌道,豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足什么條件?若R′=2.5R,兩球最后所停位置距D(或E)多遠(yuǎn)?注:在運(yùn)算中,根號中的數(shù)值無需算出.
分析:(1)a球從A運(yùn)動至C過程,由動能定理列出等式,a、b球在C發(fā)生彈性碰撞,系統(tǒng)動量守恒,機(jī)械能守恒列出等式聯(lián)立求解
(2)要使小球b脫離軌道,有兩種情況:情況一:小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn),進(jìn)入EF軌道.情況二:小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí),速度減為零,然后滑回D.由動能定理列出等式求解.由于a、b碰撞無能量損失,則由能量守恒定律求解.
解答:解:(1)設(shè)a球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v,
a球從A運(yùn)動至C過程,由動能定理有
mg(5Rsin370+1.8R)-μmgcos370?5R=
1
2
mv2
  ①

可得       v=
5.6gR

a、b球在C發(fā)生彈性碰撞,系統(tǒng)動量守恒,機(jī)械能守恒,
設(shè)a、b碰后瞬間速度分別為va、vb,
則有mv=mva+mvb
1
2
mv2=
1
2
mva2+
1
2
mvb2

由②③④可得   
 va=0
vb=
5.6gR
  ⑤
可知,a、b碰后交換速度,a靜止,b向右運(yùn)動.
(2)要使小球b脫離軌道,有兩種情況:
情況一:小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn),進(jìn)入EF軌道.則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足
m
vP2
R
≥mg

小球b碰后直到P點(diǎn)過程,由動能定理,有
-μmgR-mg?2R=
1
2
mvP2-
1
2
mvb2

由⑤⑥⑦式,可得 R′≤
23
25
R=0.92R
情況二:小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí),速度減為零,然后滑回D.
則由動能定理有
-μmgR-mg?R=0-
1
2
mvb2

由⑤⑧式,可得     R′≥2.3R
若R′=2.5R,由上面分析可知,b球必定滑回D,設(shè)其能向左滑過DC軌道與a球碰撞,且a球到達(dá)B點(diǎn),在B點(diǎn)的速度為vB,
由于a、b碰撞無能量損失,則由能量守恒定律有
1
2
mv2=
1
2
mvB2+mg?1.8R+2μmgR

由⑤⑨式,可得     vB=0
故知,a球不能滑回傾斜軌道AB,a、b兩球?qū)⒃贏、Q之間做往返運(yùn)動,最終a球?qū)⑼T贑處,b球?qū)⑼T贑D軌道上的某處.
設(shè)b球在CD軌道上運(yùn)動的總路程為S,由于a、b碰撞無能量損失,
則由能量守恒定律,有
1
2
mv2=μmgS

由⑤⑩兩式,可得   S=5.6R
所以知,b球?qū)⑼T贒點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)0.6R處,a球停在D點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)R處.
答:(1)a球滑到斜面底端C時(shí)速度為
5.6gR
,a、b球在C處碰后速度各為0和
5.6gR

(2)要使小球在運(yùn)動過程中不脫離軌道,情況一:小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn),進(jìn)入EF軌道.R′≤0.92R
小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí),速度減為零,然后滑回D,R′≥2.3R
b球?qū)⑼T贒點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)0.6R處,a球停在D點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)R處.
點(diǎn)評:此題要求熟練掌握動能定理、系統(tǒng)動量守恒、能量守恒定律、圓周運(yùn)動等規(guī)律,包含知識點(diǎn)多,難度較大,屬于難題.
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