Question

12．如圖所示，光滑絕緣的半圓軌道豎直放置，直徑AD水平，B、C是三等分點，在A、D兩點固定有電荷量為Q₁和Q₂的正點電荷，電量滿足關系：Q₁=3$\sqrt{3}$Q₂，且規(guī)定無窮遠處電勢為0，孤立正點電荷Q周圍空間各點的電勢為φ=k$\frac{Q}{r}$，Q表示電量，k表示靜電力常量，r表示某點到點電荷的距離．則下列說法正確的是（　�。�

• A． B點與C點的場強大小之比為E_B：E_C=$\sqrt{61}$：6
• B． B點與C點的場強大小之比為E_B：E_C=2$\sqrt{61}$：3
• C． B點與C點的電勢大小之比為φ_B：φ_C=5$\sqrt{3}$：6
• D． B點與C點的電勢大小之比為φ_B：φ_C=5$\sqrt{3}$：3

Answer 1

分析 根據庫侖定律分別寫出兩個點電荷在B點與C點的電場強度的表達式，畫出兩點的電場強度的方向，由矢量合成的方法即可求出電場強度；根據題目提供的電勢能的表達式，分別求出，然后求和即可．

解答 解：A、設半圓的半徑為R，則由幾何關系可知，AB之間的距離為R，CD之間的距離為R，AC與BD之間的距離都是：$\frac{R}{sin30°}•sin120°=\sqrt{3}R$
A、D分別在B點產生的電場強度：${E}_{BA}=\frac{k{Q}_{1}}{{R}^{2}}$=$3\sqrt{3}\frac{k{Q}_{2}}{{R}^{2}}$和${E}_{BD}=\frac{k•{Q}_{2}}{{（\sqrt{3}R）}^{2}}=\frac{k{Q}_{2}}{3{R}^{2}}$方向如圖，可知兩個分場強的方向是相互垂直的：

根據幾何關系可知，兩個分矢量的方向相互垂直，所以其合場強為：${E}_{B}=\sqrt{{E}_{BA}^{2}+{E}_{BD}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{61}•\frac{k{Q}_{2}}{{R}^{2}}$
A、D分別在c點產生的電場強度：${E}_{CA}=\frac{k{Q}_{1}}{{（\sqrt{3}R）}^{2}}=\frac{1}{3}•\frac{3\sqrt{3}k{Q}_{2}}{{R}^{2}}=\sqrt{3}\frac{k{Q}_{2}}{{R}^{2}}$和${E}_{CD}=\frac{k•{Q}_{2}}{{R}^{2}}$
根據幾何關系，其合場強為：${E}_{C}=\sqrt{{E}_{CA}^{2}+{E}_{CD}^{2}}$=$\frac{2k•{Q}_{2}}{{R}^{2}}$
所以：$\frac{{E}_{B}}{{E}_{C}}=\frac{\frac{2}{3}\sqrt{61}}{2}=\frac{\sqrt{61}}{3}$．故AB錯誤；
C、點電荷A在B點產生的電勢：${φ}_{AB}=\frac{k{Q}_{1}}{R}=\frac{3\sqrt{3}k{Q}_{2}}{R}$，
在C點產生的電勢：${φ}_{AC}=\frac{k{Q}_{1}}{\sqrt{3}R}=\frac{3k{Q}_{2}}{R}$
點電荷D在B處產生的電勢：${φ}_{DB}=\frac{k{Q}_{2}}{\sqrt{3}R}$，
在C點產生的電勢：${φ}_{DC}=\frac{k{Q}_{2}}{R}$
所以B點的總電勢：${φ}_{B}={φ}_{AB}+{φ}_{DB}=（\frac{\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}）\frac{k{Q}_{2}}{R}$
D點的總電勢：φ_C=φ_DC+φ_AC=$\frac{4k{Q}_{2}}{R}$
所以：φ_B：φ_C=$\frac{3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$．故C正確，D錯誤．
故選：C

點評 該題考查庫侖定律和矢量的合成，解題的關鍵是正確判斷出兩個正點電荷在B、C處的電場強度的大小，并且要注意使用矢量合成的方法求和．