Question

11．由中國(guó)科學(xué)院、中國(guó)工程院兩院院士評(píng)出的2012年中國(guó)十大科技進(jìn)展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號(hào)”成功對(duì)接排在第一．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G．天宮一號(hào)軌道距離地面高度為h．
（1）“天宮一號(hào)”繞地心轉(zhuǎn)一周的時(shí)間是多少？
（2）設(shè)想地球的密度不變，自轉(zhuǎn)周期不變，但地球球體半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半，僅考慮地球和同步衛(wèi)星之間的相互作用力，則該“設(shè)想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，以及萬(wàn)有引力等于重力，求出）“天宮一號(hào)”繞地心轉(zhuǎn)一周的時(shí)間；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，抓住地球質(zhì)量的變化求出軌道半徑之比

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）地球同步衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供同步衛(wèi)星所需的向心力，${M}_{1}^{\;}$為地球質(zhì)量，${M}_{2}^{\;}$為“設(shè)想地球”的質(zhì)量，有：
$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
$G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
地球質(zhì)量${M}_{1}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
“設(shè)想地球”的質(zhì)量${M}_{2}^{\;}=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}$
聯(lián)立解得：$\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}$
答：（1）“天宮一號(hào)”繞地心轉(zhuǎn)一周的時(shí)間是$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$
（2）“設(shè)想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是1：2

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．