Question

13．兩顆靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠(yuǎn)，它們以其連線上某-點(diǎn)O為圓心各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個(gè)天體稱為“雙星”，如圖所示．設(shè)雙星的質(zhì)量分別為m₁和m₂，它們之間的距離為L(zhǎng)．求雙星運(yùn)行的周期T．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進(jìn)一步計(jì)算軌道半徑大��；據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力計(jì)算出周期．

解答 解：設(shè)雙星中質(zhì)量為m₁的天體軌道半徑為r₁，質(zhì)量為m₂的天體軌道半徑為r₂
據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得：
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$…①
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$…②
r₁+r₂=L…③
由①②③聯(lián)立解得：
${r}_{1}=\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
${r}_{2}=\frac{{m}_{1}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
再由：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{r}_{1}$，
得：
運(yùn)行的周期T=$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：雙星運(yùn)行的周期為$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．