Question

16．一根半徑為R的內(nèi)壁光滑的$\frac{3}{4}$圓周細(xì)鋼管，形狀如圖所示，A與圓心在同一水平面內(nèi)，一鋼球被一彈簧槍從A處正對(duì)管口射入．
（1）欲使小鋼球恰能到達(dá)C點(diǎn)，則小鋼球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為多少？從A點(diǎn)射入時(shí)的速度為多少？
（2）若使鋼球經(jīng)C后飛出．恰好又落回A點(diǎn)，則小鋼球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為多少？從A點(diǎn)射入時(shí)的速度為多少？

Answer 1

分析 （1）第一種情況：小鋼球恰能到達(dá)C點(diǎn)，則在C點(diǎn)速度為零，由動(dòng)能定理可求射入A的速度；
（2）第二種情況：小球從C點(diǎn)水平飛出，做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)能定理可求出C點(diǎn)的速度和射入的速度．

解答 解：（1）設(shè)細(xì)圓鋼管的半徑為R，第一次射入后小鋼球恰好能達(dá)到C點(diǎn)，則在C點(diǎn)速度為零，即v_C=0；
從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：v_A=$\sqrt{2gR}$
（2）第二次射入后小鋼球從C點(diǎn)平拋出去并恰好落回A點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度為${v}_{c}^{′}$，射入的速度為${v}_{A}^{′}$，則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
在豎直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²
在水平方向上：R=${v}_{c}^{′}$t
聯(lián)立解得：${v}_{c}^{′}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
從A到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：-mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{c}^{′2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{′2}$
代入解得：${v}_{A}^{′}$=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$．
答：（1）欲使小鋼球恰能到達(dá)C點(diǎn)，則小鋼球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為0，從A點(diǎn)射入時(shí)的速度為$\sqrt{2gR}$；
（2）小鋼球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，從A點(diǎn)射入時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合的綜合題，解決本題的關(guān)鍵掌握動(dòng)能定理，以及知道做圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑方向的合力提供向心力．注意在輕桿模型中經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度和最小速度．