Question

【題目】如圖，平行板電容器兩極間加上電壓U，一質(zhì)量為m、帶正電荷量為q的粒子，從兩極板正中間的M點(diǎn)由靜止釋放，粒子被電場加速，從下極板正對(duì)M點(diǎn)的小孔N飛出；在電容器的下方，有一個(gè)邊長為L的正方體絕緣空腔，其截面如圖，正方體的上邊中點(diǎn)正對(duì)N孔也開有一小孔P，粒子從電容器飛出后恰好垂直上邊從P飛入正方體空腔，整個(gè)空腔處在有上邊界的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中；若粒子在正方體空腔中與四壁的碰撞都是彈性正碰（垂直四壁碰撞且碰撞前后速度大小相等、方向相反），且電荷量不變，粒子與空腔四壁除碰撞外無其他相互作用，粒子最終又從P點(diǎn)飛出空腔。不計(jì)粒子的重力和阻力，不計(jì)碰撞時(shí)間，求：

（1）粒子飛入空腔時(shí)的速度v0是多大？

（2）若v0為已知，則粒子在空腔中與四壁碰撞次數(shù)最少時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t0是多少？對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0是多大？

（3）若v0為已知，求所有滿足條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的在空腔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

Answer 1

【答案】（1） ； （2）；

【解析】試題分析：粒子被電場加速，由動(dòng)能定理即可求出加速后的速度；粒子與另外三壁各碰一次且碰撞位置為各邊中點(diǎn)時(shí)，碰撞次數(shù)最少，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑和時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律求出對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；當(dāng)粒子的半徑應(yīng)滿足的關(guān)系式為：（n=0，1，2…）時(shí)，由洛倫茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和對(duì)應(yīng)的在空腔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

（1）粒子被電場加速，由動(dòng)能定理得：

解得：

（2）粒子與另外三壁各碰一次且碰撞位置為各邊中點(diǎn)時(shí)，如圖所示：碰撞次數(shù)最少

則運(yùn)動(dòng)半徑為有：，

可得：

在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律：

解得：

（3）粒子的半徑應(yīng)滿足的關(guān)系式為： （n=0，1，2…）

所以：

由洛倫茲力提供向心力：

聯(lián)立可得： （n=0，1，2…）

則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為： （n=0,1,2…）