Question

如圖所示，一端封閉的兩條平行光滑長(zhǎng)導(dǎo)軌相距L，距左端L處的右側(cè)一段彎成半徑為的四分之一圓弧，圓弧導(dǎo)軌的左、右兩段處于高度相差的水平面上。以弧形導(dǎo)軌的末端點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標(biāo)軸。圓弧導(dǎo)軌所在區(qū)域無磁場(chǎng)；左段區(qū)域存在空間上均勻分布，但隨時(shí)間t均勻變化的磁場(chǎng)B（t），如圖2所示；右段區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不隨時(shí)間變化，只沿x方向均勻變化的磁場(chǎng)B（x），如圖3所示；磁場(chǎng)B（t）和B（x）的方向均豎直向上。在圓弧導(dǎo)軌最上端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導(dǎo)軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時(shí)左段磁場(chǎng)B（t）開始變化，金屬棒與導(dǎo)軌始終接觸良好，經(jīng)過時(shí)間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導(dǎo)軌底端。已知金屬棒在回路中的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g。

（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E；
（2）如果根據(jù)已知條件，金屬棒能離開右段磁場(chǎng)B（x）區(qū)域，離開時(shí)的速度為v，求金屬棒從開始滑動(dòng)到離開右段磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q;
（3）如果根據(jù)已知條件，金屬棒滑行到x=x₁，位置時(shí)停下來，
a．求金屬棒在水平軌道上滑動(dòng)過程中遁過導(dǎo)體棒的電荷量q；
b．通過計(jì)算，確定金屬棒在全部運(yùn)動(dòng)過程中感應(yīng)電流最大時(shí)的位置。

Answer 1

（1）L²B₀/t₀（2）+ mgL/2-mv²（3）金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大

根據(jù)題中圖像、圖形信息，利用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、機(jī)械能守恒電流、能量守恒定律、焦耳定律及其相關(guān)知識(shí)列方程解答。
解：（1）由圖2可知，△B/△t=B₀/t₀，
金屬棒在圓弧軌道上滑動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
E=△Φ/△t=L²△B/△t= L²B₀/t₀.。①
（2）金屬棒在圓弧軌道上滑動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q₁=t₀=
金屬棒在圓弧軌道上滑動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，mgL/2=mv₀²，②
設(shè)金屬棒在水平軌道上滑動(dòng)過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂。根據(jù)能量守恒定律，
Q₂=mv₀²-mv²= mgL/2-mv²。
所以金屬棒在全部運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q= Q₁+ Q₂=+ mgL/2-mv²。
（3）a． 根據(jù)圖3，x=x₁(x₁< x₀)處磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=。設(shè)金屬棒在水平軌道上滑行時(shí)間為△t。由于磁場(chǎng)B（x）沿x方向均勻變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，△t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=△Φ/△t==。
平均電流I=E/R，通過金屬棒的電荷量q=I△t，
聯(lián)立解得通過金屬棒的電荷量q= 。
b．金屬棒在圓弧軌道上滑動(dòng)過程中，根據(jù)①式，I₁=E/R= L²B₀/Rt₀.。
金屬棒在水平軌道上滑動(dòng)過程中，由于滑行速度和磁感應(yīng)強(qiáng)度都在減小，所以，金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)感應(yīng)電流最大。
根據(jù)②式，剛進(jìn)入水平軌道時(shí)，金屬棒速度v₀=
所以，水平軌道上滑行過程中的最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E’=B₀L v₀=B₀L，
最大電流I₂=E’/R= B₀L/R.
若金屬棒自由下落高度L/2，由L/2=gt²/2，經(jīng)歷時(shí)間t=，顯然t₀>t。
所以，I₁= L²B₀/Rt₀< L²B₀/Rt== B₀L/R.= I₂。
綜上所述，金屬棒剛進(jìn)入水平軌道時(shí)，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大。