Question

7．如圖，質(zhì)量均為m的物體A和物體B通過(guò)一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)．一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤．開始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向．現(xiàn)在掛鉤上掛物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升．已知重力加速度為g．
（1）求物體C的質(zhì)量；
（2）當(dāng)B剛要離開地面時(shí)，AC間的輕繩的拉力多大？
（3）若將C換成質(zhì)量為3m的物體D，仍從前述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？

Answer 1

分析 （1）物體C下降的高度等于物體A上升的高度；開始時(shí)彈簧壓縮，后來(lái)彈簧拉長(zhǎng)，物體C下落的高度h等于彈簧長(zhǎng)度的增加量；物體B剛離開地面時(shí)，物體A恰好獲得最大速度，說(shuō)明物體A受力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）B剛要離開地面時(shí)，分別對(duì)A和C進(jìn)行受力分析，結(jié)合共點(diǎn)力的平衡狀態(tài)即可求出；
（3）若將C換成質(zhì)量為3m的物體D，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧彈性勢(shì)能與初始狀態(tài)相同，由機(jī)械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）開始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，有
kx₁=mg                    ①
掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x₂，有 kx₂=mg                 ②
由①②式可知，x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$③
B不再上升表示此時(shí)A和C的速度為零，C已降到其最低點(diǎn)．
設(shè)C的質(zhì)量為m_C，與初始狀態(tài)相比，C下降x₁+x₂，A上升x₁+x₂．彈簧彈性勢(shì)能不變．由機(jī)械能守恒定律可知：
△E_k=m_Cg（x₁+x₂）-mg（x₁+x₂）=0      ④
由④式得：m_C=m　　　　　　　　　 �、�
（2）B剛要離開地面時(shí)，A受力如圖甲所示．
kx₂+mg-F_T=ma                        ⑥
物體C受力如圖乙所示
F_T-mg=ma                         ⑦
由⑥和⑦式得F_T=$\frac{3}{2}mg$
（3）C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧彈性勢(shì)能與初始狀態(tài)相同，設(shè)此時(shí)A、D速度為v，由機(jī)械能守恒定律得
$\frac{1}{2}$×3mv²+$\frac{1}{2}$mv²=3mg（x₁+x₂）-mg（x₁+x₂）       ⑧
由③和⑧式得v=$g\sqrt{\frac{2m}{k}}$
答：（1）物體C的質(zhì)量m；
（2）當(dāng)B剛要離開地面時(shí)，AC間的輕繩的拉力是$\frac{3}{2}mg$；
（3）若將C換成質(zhì)量為3m的物體D，仍從前述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是$g\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件和機(jī)械能守恒定律以及胡克定律列式后聯(lián)立求解即可．