Question

3．如圖為一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面（紙面）的示意圖，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向內(nèi)．一電荷量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的粒子沿直徑ab的方向從a點(diǎn)以速度v₀射入磁場(chǎng)區(qū)域，粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為90°．若粒子以平行于直徑ab的方向從P點(diǎn)仍以速度v₀射入磁場(chǎng)區(qū)域，P點(diǎn)與ab的距離為圓的半徑的$\frac{1}{3}$，粒子從圓上的Q點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）離開(kāi)該區(qū)域．現(xiàn)將磁場(chǎng)換為平行于紙面且垂直于直徑ab的勻強(qiáng)電場(chǎng)，同一粒子以同樣速度沿直線在P點(diǎn)射入柱形區(qū)域，也從Q點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域．不計(jì)重力，求：
（1）圓形磁場(chǎng)的半徑；
（2）P、Q兩點(diǎn)間的距離；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系得粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于圓形磁場(chǎng)的半徑，求出粒子的軌道半徑即可得到圓形磁場(chǎng)的半徑
（2）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出PQ兩點(diǎn)間的距離
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)

解答 解：（1）依題意可知，圓形磁場(chǎng)半徑R等于粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r，R=r
由牛頓第二定律與洛倫茲力的公式得：
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
解得$r=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
所以所求圓形磁場(chǎng)的半徑$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（2）由幾何關(guān)系可知圖中的四邊形OPO′Q為菱形，且OQ垂直于直徑ab，如圖所示，

由幾何關(guān)系可知：$OO′=\sqrt{{R}_{\;}^{2}-（\frac{R}{3}）_{\;}^{2}+（\frac{2R}{3}）_{\;}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}R}{3}$
$PQ=2\sqrt{{R}_{\;}^{2}-（\frac{OO′}{2}）_{\;}^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$
所以$PQ=\frac{2\sqrt{6}}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（3）在電場(chǎng)中，粒子的水平方向位移為$x=\frac{4}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
粒子的豎直方向位移為$y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
$y={v}_{0}^{\;}t$
粒子的加速度$a=\frac{qE}{m}$
解得$E=3B{v}_{0}^{\;}$
答：（1）圓形磁場(chǎng)的半徑$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（2）P、Q兩點(diǎn)間的距離$\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小$3B{v}_{0}^{\;}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題，由幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵．