Question

11．如圖所示為恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O的運(yùn)行軌道近似為圓．已知引力常量為G，A行星的運(yùn)行軌道半徑為R₀、周期為T₀．
（1）求中央恒星O的質(zhì)量；
（2）A行星的半徑為r₀，其表面的重力加速度為g，不考慮行星的自轉(zhuǎn)．有一顆距離A行星表面為h做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，求該衛(wèi)星的線速度大�。�（忽略恒星對衛(wèi)星的影響）
（3）經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運(yùn)動的軌道與理論軌道總存在一些偏差，并且每隔t₀時間發(fā)生一次最大的偏離．天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運(yùn)行圓軌道與A的軌道在同一水平面內(nèi)，且繞行方向與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離，根據(jù)上述現(xiàn)象和假設(shè)，試估算未知行星B繞中央恒星O運(yùn)動的周期及軌道半徑．

Answer 1

分析 （1）行星由恒星的萬有引力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律由行星的運(yùn)行軌道半徑為 R₀，周期為T₀求出恒星O的質(zhì)量；
（2）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動，行星對衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星的向心力，再由牛頓第二定律求解衛(wèi)星的線速度大��；
（3）先根據(jù)多轉(zhuǎn)動一圈時間為t₀，求出衛(wèi)星的周期；然后再根據(jù)開普勒第三定律解得軌道半徑

解答 解：（1）設(shè)中央恒星O的質(zhì)量為M，A行星的質(zhì)量為m，則由萬有引力定律和牛頓第二定律得
$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{R}_{0}}{{{T}_{0}}^{2}}$
解得 M=$\frac{4{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{{{GT}_{0}}^{2}}$
（2）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，由題意可知：
$G\frac{m{m}_{0}}{{（{r}_{0}+h）}^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{（{r}_{0}+h）}$

$G\frac{m{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}={m}_{0}g$
解得：v=$\sqrt{\frac{g{{r}_{0}}^{2}}{{r}_{0}+h}}$
（3）由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間t₀發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B相距最近，設(shè)B行星的周期為T，則有：
$（\frac{2π}{{T}_{0}}-\frac{2π}{T}）{T}_{0}=2π$
解得：T=$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$
據(jù)開普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{{R}_{0}}^{3}}=\frac{{T}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$
解得：$R=\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}{R}_{0}$
答：（1）中央恒星O的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{{{GT}_{0}}^{2}}$；
（2）該衛(wèi)星的線速度大小為$\sqrt{\frac{g{{r}_{0}}^{2}}{{r}_{0}+h}}$；
（3）未知行星B繞中央恒星O運(yùn)動的周期為$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，軌道半徑為$\root{3}{{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）}^{2}}{R}_{0}$．

點評 本題中第（1）要注意已知旋轉(zhuǎn)天體的軌道半徑和周期求出的是中心天體的質(zhì)量，而不是旋轉(zhuǎn)天體本身的質(zhì)量，掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運(yùn)用，知道A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間t₀發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B相距最近，難度適中．