Question

14．空間中有一直角坐標(biāo)系，其第一象限中在圓心為O₁、半徑為R、邊界與x軸和y軸相切的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，第二象限中存在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從圓形區(qū)域邊界與x軸的切點(diǎn)A處沿紙面上的不同方向射入磁場(chǎng)中，如圖所示．已知粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為R，其中沿AO₁方向射入的粒子恰好到達(dá)x軸上與O點(diǎn)距離為2R的N點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力和它們之間的相互作用．求：

（1）粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小及電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）速度方向與AO₁夾角為60°（斜向右上方）的粒子到達(dá)x軸所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得粒子的速度；再根據(jù)粒子在電場(chǎng)中的平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）根據(jù)題意明確粒子的運(yùn)動(dòng)情況，明確粒子轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖；明確圓心角則可求得粒子轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，因在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
  得v=$\frac{qBR}{m}$
如圖甲所示，因粒子的軌跡半徑是R，故沿AO₁方向射入的粒子一定從與圓心等高的D點(diǎn)沿x軸負(fù)方向射入電場(chǎng)，則粒子在電場(chǎng)中從D點(diǎn)到N點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，有
水平方向：2R=vt
豎直方向有：
R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²
解得E=$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$
（2）對(duì)于速度v（斜向右上方）的粒子，軌跡如圖乙所示，軌跡圓心為C，從M點(diǎn)射出磁場(chǎng)，連接O₁M，四邊形O₁MCA是菱形，故CM垂直于x軸，速度方向偏轉(zhuǎn)角度等于圓心角θ=150°，
速度為v的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁=$\frac{{θ}_{2}}{360°}$T=$\frac{5πm}{6qB}$
粒子離開磁場(chǎng)到y(tǒng)軸的距離MH=$\frac{R}{2}$，在無(wú)場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂=$\frac{R}{2v}$=$\frac{m}{2qB}$
設(shè)粒子在電場(chǎng)中到達(dá)x軸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，H_O=R+$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，則R+$\frac{\sqrt{3}R}{2}$=$\frac{qE}{2m}$t₃²
解得t₃=（$\sqrt{3}$+1）$\frac{m}{qB}$
故粒子到達(dá)x軸的時(shí)間為
t=t₁+t₂+t₃=（$\frac{5π}{3}$+3+2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{2qB}$；
答：（1）粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\frac{qBR}{m}$；電場(chǎng)強(qiáng)度的大小$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$；
（2）速度方向與AO₁夾角為60°（斜向右上方）的粒子到達(dá)x軸所用的時(shí)間為=（$\frac{5π}{3}$+3+2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{2qB}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，要注意明確粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解規(guī)律求解；而在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系和洛倫茲力充當(dāng)向心力規(guī)律求解．