Question

9．2013年12月2日，我國成功發(fā)射了“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星．“嫦娥三號(hào)”著陸前子啊距月球表面100km高度的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，這比“嫦娥二號(hào)”距月球表面200km的圓形軌道更有利于對(duì)月球表面做出精細(xì)測(cè)繪．已知月球的質(zhì)量為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，地球半徑為6.4×10⁶m，地球表面附近的重力加速度為9.8m/s²．估算：（結(jié)果可保留根式）
（1）月球表面重力加速度的值
（2）“嫦娥二號(hào)”與“嫦娥三號(hào)”在各自圓軌道上運(yùn)行速度的比值．

Answer 1

分析 （1）星球表面重力與萬有引力相等，求得重力加速度的表達(dá)式，再根據(jù)地月半徑質(zhì)量關(guān)系和地球表面的重力加速度求得月球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由軌道半徑關(guān)系求得線速度之比．

解答 解：（1）物體在星球表面受到的重力等于萬有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{月}}{{R}_{地}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{{M}_{月}{R}_{地}^{2}}{{{M}_{地}R}_{月}^{2}}$，
解得：g_月=1.9 m/s²；
（2）設(shè)探月衛(wèi)星圓軌道半徑為r，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
對(duì)于“嫦娥二號(hào)”r₁=R_月+200 km=1800 km
對(duì)于“嫦娥三號(hào)”r₂=R_月+100 km=1700 km
“嫦娥二號(hào)”與“嫦娥三號(hào)”在各自圓軌道上運(yùn)行速度的大小之比為：
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{17}{18}}$≈0.97．
答：（1）月球表面附近的重力加速度是1.9 m/s²；
（2）“嫦娥一號(hào)”與“嫦娥二號(hào)”在各自圓軌道上運(yùn)行速度的大小之比為0.97．

點(diǎn)評(píng) 求一個(gè)物理量之比，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行比較．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．