Question

18．如圖甲所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對(duì)幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN，P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直地放置，其俯視圖如圖乙所示．已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計(jì)，極板長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.2m，P、Q之間以及M、N之間的電壓都是U=6.0×10²V．金屬板右側(cè)為豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10²T，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．今有一質(zhì)量為m=1×10^-4kg，電量為q=2×10^-6C的帶負(fù)電小球在水平面上如圖從PQ平行板間左側(cè)中點(diǎn)O沿極板中軸線以初速度v₀=4m/s進(jìn)入平行金屬板PQ．
（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度大小；
（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側(cè)中點(diǎn)O′沿中軸線射出．已知Q板電勢(shì)高于P板，則金屬板Q、M間距離是多少？

Answer 1

分析 （1）小球在PQ金屬板間在豎直方向受到的重力和支持力平衡，水平方向只受電場(chǎng)力，初速度平行板PQ，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，將小球的運(yùn)動(dòng)分解：平行于板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解小球剛穿出平行金屬板PQ的速度．
（2）題中P板電勢(shì)高，在電場(chǎng)中小球向P板偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入后磁場(chǎng)后豎直方向重力和支持力仍平衡，由洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，畫(huà)出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡．在MN板間的運(yùn)動(dòng)可看作類平拋運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程處理．由牛頓定律求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，運(yùn)用幾何知識(shí)求解金屬板Q、M間距離．

解答 解：（1）小球在PQ金屬板中做類平拋運(yùn)動(dòng)：
小球所受電場(chǎng)力：$F=qE=q\frac{U}xskqpa0$，
小球的加速度：$a=\frac{F}{m}$，
解得：$a=\frac{Uq}{dm}=\frac{{6×{{10}^2}×2×{{10}^{-6}}}}{{0.2×1×{{10}^{-4}}}}m/{s^2}=60m/{s^2}$，
小球在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{L}{v_0}=\frac{0.2}{4}s=0.05s$，
小球在垂直板方向上的速度：v_y=at=60×0.05m/s=3m/s，
則小球離開(kāi)PQ板時(shí)的速度：${v_t}=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{{4^2}+{3^2}}m/s=5m/s$；
（2）若Q板電勢(shì)比P板高，則必須M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如曲線b所示．
否則不可能在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側(cè)中點(diǎn)O′沿中軸線射出．
小球進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，因洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$q{v_t}B=m\frac{v_t^2}{R}$，解得：$R=\frac{{m{v_t}}}{qB}=\frac{{1×{{10}^{-4}}×5}}{{2×{{10}^{-6}}×5×{{10}^2}}}m=0.5m$，
v_t與中軸線的夾角為：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{3}{4}$，
在PQ極板間，若小球向Q板偏，設(shè)小球射入與射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間的距離為h_b．
由圖中幾何關(guān)系可算得：h_b=2Rcosθ=0.8m，
小球偏離中軸線的位移：$y=\frac{1}{2}a{t^2}=7.5×{10^{-2}}$m，
當(dāng)小球向Q板偏時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得QM板間的距離為：
${d_{QM}}={h_b}-2（\fracbienyhq{2}-y）={h_b}-d+2y$，
代入數(shù)據(jù)得：d_QM=0.75m，因而金屬板Q、M間距離為0.75m．
答：（1）小球剛穿出平行金屬板PQ進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度大小為5m/s；
（2）金屬板Q、M間距離是0.75m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)研究方法不同：電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)采用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)畫(huà)軌跡．