Question

17．如圖所示，半徑R=0.4m的圓盤(pán)水平放置，繞豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓心O正上方h=0.8m高處固定一水平軌道PQ，轉(zhuǎn)軸和水平軌道交于O′點(diǎn)．一質(zhì)量m=2kg的小車(chē)（可視為質(zhì)點(diǎn)），在F=6N的水平恒力作用下（一段時(shí)間后，撤去該力），從O′左側(cè)x₀=2m處由靜止開(kāi)始沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)時(shí)，從小車(chē)上自由釋放一小球，此時(shí)圓盤(pán)半徑OA與x軸重合．規(guī)定經(jīng)過(guò)O點(diǎn)水平向右為x軸正方向．小車(chē)與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．
（1）為使小球剛好落在A點(diǎn)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為多大？
（2）為使小球能落到圓盤(pán)上，求水平拉力F作用的距離范圍？

Answer 1

分析 （1）物塊離開(kāi)O′點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可以求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，若圓盤(pán)轉(zhuǎn)一圈，物塊恰好調(diào)入小桶，此時(shí)作用力時(shí)間最短．圓盤(pán)轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間與平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相等．從而得出圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度最小值．也有可能在平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)N圈．因此求出轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；
（2）小球能落在圓盤(pán)上，則可利用平拋運(yùn)動(dòng)，可求出小球拋出的速度范圍，從而得出小球的加速度的范圍．最終運(yùn)用牛頓第二定律可求出水平拉力的距離范圍

解答 解：（1）小球離開(kāi)小車(chē)后，由于慣性，將以離開(kāi)小車(chē)時(shí)的速度作平拋運(yùn)動(dòng)
豎直方向有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}=0.4（s）$
水平方向：R=vt         
小車(chē)運(yùn)動(dòng)到O′點(diǎn)的速度$v=\frac{R}{t}=\frac{0.4}{0.4}m/s=1m/s$
為使小球剛好落在A點(diǎn)則應(yīng)滿(mǎn)足：ωt=2πk
解得：$ω=\frac{2πk}{t}=5πk（k=1，2，…）$
（2）小球若能落到圓盤(pán)上，其在O′點(diǎn)的速度范圍是：0＜v≤1m/s
設(shè)水平拉力作用的最小距離與最大距離分別為x₁、x₂，對(duì)應(yīng)到達(dá)O′點(diǎn)的速度分別為0、1m/s．
由動(dòng)能定理，有：
Fx₁-μmgx₀=0
代入數(shù)據(jù)解得：
x₁=1m
根據(jù)動(dòng)能定理，有：
Fx₂-μmgx₀=$\frac{1}{2}$mv²-0
代入數(shù)據(jù)解得x₂=1.125m
則水平拉力F作用的距離范圍 1m＜x≤1.125m
答：（1）為使小球剛好落在A點(diǎn)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為ω=5kπ rad/s，其中k=0，1，2，3…；
（2）為使小球能落到圓盤(pán)上，求水平拉力F作用的距離范圍：1m＜x≤1.125m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道物塊整個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)：勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，知道三個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間相等．以及熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．