Question

6．如圖所示，直角坐標系xOy的y軸右側有一寬為d的無限長磁場，磁感應強度大小未知，方向垂直紙面向外，y軸左側有一個半徑也為d的有界圓形磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，圓心O₁在x軸上，OO₁=2d，一個帶正電粒子以初速度v由A點沿AO₁方向（與水平方向成60°角）射入圓形磁場并恰好從O點進入右側磁場，從右邊界MN上C點（沒畫出）穿出時與水平方向成30°角，不計粒子重力，求：
（1）粒子的比荷；
（2）右側磁場的磁感應強度；
（3）粒子從A到C的運動時間．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子運動的軌跡，根據洛倫茲力提供向心力求出粒子在圓形磁場中運動的半徑公式，結合幾何關系求出半徑，從而得出比荷
（2）在右側磁場中做勻速圓周運動，根據幾何關系求出半徑，再用半徑公式求出B'
（3）算出粒子在各段的運動時間，在磁場中時間$t=\frac{θ}{2π}T$

解答 解：（1）畫出粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示，在圓形磁場中，根據幾何關系有：
$tan30°=\frac1nzzpt3{R}$
解得：$R=\sqrt{3}d$
在磁場中勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律得：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
聯(lián)立以上各式有：$\frac{q}{m}=\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}$
（2）在右側磁場中，圓心角為30°，根據$sin30°=\fraczftv5tl{R′}$
R′=2d
$R′=\frac{mv}{qB′}$
解得：$B′=\frac{mv}{2qd}=\frac{v}{2d\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}}=\frac{\sqrt{3}}{2}B$
（3）圓形磁場中有：${t}_{1}^{\;}=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}\frac{2πR}{v}$
代入數據解得：${t}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}πd}{3v}$
無磁場區(qū)有：${t}_{2}^{\;}=\fractdftj3b{v}$
右側磁場有：${t}_{3}^{\;}=\frac{30°}{360°}T′=\frac{1}{12}T′=\frac{1}{12}\frac{2πR′}{v}$
解得：${t}_{3}^{\;}=\frac{πd}{3v}$
所以粒子從A到C的運動時間為：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$\frachbzp5nd{v}（\frac{\sqrt{3}π}{3}+1+π）$
答：（1）粒子的比荷$\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}$；
（2）右側磁場的磁感應強度$\frac{\sqrt{3}}{2}B$；
（3）粒子從A到C的運動時間$\fracrvtxjtz{v}（\frac{\sqrt{3}π}{3}+1+π）$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中運動的問題，關鍵是畫出運動軌跡示意圖，結合幾何關系求解半徑，同時能知道半徑公式和周期公式．