Question

2012年6月24日，“神舟九號(hào)”航天員劉旺成功駕駛飛船與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器對(duì)接，這標(biāo)志著中國(guó)成為世界上第三個(gè)完整掌握空間交會(huì)對(duì)接技術(shù)的國(guó)家．完成對(duì)接后，“神舟九號(hào)”與“天宮一號(hào)”在同一圓形軌道上運(yùn)行，此時(shí)它們的運(yùn)行速度為v．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g．求：
（1）它們對(duì)接后距離地面的高度h；
（2）它們對(duì)接后運(yùn)行的周期T．

Answer 1

分析：（1）“神舟九號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=R+h，共同體由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律列式求解軌道半徑r；又在地球表面，萬(wàn)有引力等于重力，再列式求出地球的質(zhì)量M，聯(lián)立即可求得h．
（2）由上已求出r，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律T=

2πr

v

求周期．

解答：解：（1）“神舟九號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=R+h，
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有 G

Mm

r2

=m

v2

r

在地球表面附近，質(zhì)量為m′的物體，有 G

Mm′

R2

=m′g
解得   r=

gR2

v2

所以   h=r-R=

gR2

v2

-R
（2）“神舟九號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后運(yùn)行的周期T=

2πr

v

=

2πg(shù)R2

v3

答：
（1）它們對(duì)接后距離地面的高度h為

gR2

v2

-R；
（2）它們對(duì)接后運(yùn)行的周期T為

2πg(shù)R2

v3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握在地球表面重力等于萬(wàn)有引力，衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供．