Question

20．木衛(wèi)一是最靠近木星的衛(wèi)星，丹麥天文學(xué)家羅邁早在十七世紀(jì)通過(guò)對(duì)木衛(wèi)一的觀測(cè)測(cè)出了光速．他測(cè)量了木衛(wèi)一繞木星的運(yùn)動(dòng)周期T和通過(guò)木星影區(qū)的時(shí)間t．若已知木星的半徑R和萬(wàn)有引力恒量G，T遠(yuǎn)小于木星繞太陽(yáng)的運(yùn)行周期，根據(jù)以上條件可以求出（　　）

• A． 木星的密度
• B． 木衛(wèi)一的密度
• C． 木衛(wèi)一繞木星運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小
• D． 木衛(wèi)一表面的重力加速度大小

Answer 1

分析 根據(jù)木衛(wèi)一繞木星的運(yùn)動(dòng)周期T和通過(guò)木星影區(qū)的時(shí)間t，計(jì)算走影區(qū)對(duì)應(yīng)的圓心角，進(jìn)而到木衛(wèi)一的軌跡半徑，從而求得中心天體質(zhì)量和圓周運(yùn)動(dòng)的加速度．

解答 解：A、B、如圖：通過(guò)木星影區(qū)的時(shí)間t，周期為T，則：$\frac{θ}{2π}=\frac{t}{T}$，解得：$θ=\frac{t}{T}2π$，而：$\frac{R}{r}=sin\frac{θ}{2}=sin\frac{tπ}{T}$，解得：$r=\frac{R}{sin\frac{πt}{T}}$，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{πt}{T}}$，可求得中心天體的質(zhì)量，球體體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，可得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{πt}{T}}$，故A正確，B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}sin\frac{πt}{T}}$，故C正確；
D、公式只能計(jì)算中心天體的物理量，故D錯(cuò)誤；
故選：AC

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)木星的衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有萬(wàn)有引力提供，列出方程，分析方程式即可看出要測(cè)量的量．